Практическое занятие №49
Тема: «Исследование функций и построение их графиков с помощью производной»
Задание №1. Пройдите по ссылке и посмотрите примеры исследования функци и построение графиков с помощью производно (там я объясняю)
Если видео не загружается, посмотрите разобранный пример ниже.
Задание №2.Выполните практическую работу. Решаете только 1 пример из двух предложенных на ваш выбор.
Алгоритм исследования функции с помощью производной и построения ее графика
1. Находим область определения D(f) функции y = f(x).
2. Проверяем функцию на четность.
Если f(-x) = f(x), то функция четная, график функции симметричен относительно оси OY.
Если f(-x) = - f(x), то функция нечетная, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.
3. Если функция периодическая, то находим период функции.
4. Находим точки пересечения графика с осями координат.
Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (Ox).
|
|
Для этого мы решаем уравнение f(x) = 0.
Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (Oy). Для этого ищем значение функции при x=0.
5. Промежутки монотонности (возрастания и убывания функции)
Для этого мы следуем привычному алгоритму.
а) Находим производную
б) Приравниваем производную к нулю и находим критические точки функции ( и область определения производной)
Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.
Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.
Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.
7. Найти значения функции в точках экстремума.
8. По данным исследования построить график функции.
Пример 1. Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.
Решение.
1) D(f): R
2) Проверим функцию на чётность/нечётность:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.
3) Функция непериодическая.
4) Нули функции.
С осью Оy:
Чтобы найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) требуется решить уравнение f(x) = 0:
5,6) Найдём критические точки:
Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
1
Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
Экстремумы функции
точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»
. точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».
7).
.
8) Строим график функции.