Раздел IX: производная функции

9.1. Определение производной. Геометрический и механический смысл:

Определение:

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом, называется производной функции. Таким образом: .

Обозначение: .

Геометрический смысл производной:

Производная функции , вычисленная в т. есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. .

- уравнение касательной к графику функции в точке

с абсциссой .

- уравнение нормали к графику функции в точке

с абсциссой .

Механический смысл производной:

Производная от пути по времени при прямолинейном движении точки, есть истинная или мгновенная скорость движения .

9.2. Таблица производных:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

- формула нахождения дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции отнесенный к точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

9.3. Логарифмическое дифференцирование:

Применяется для нахождения производной:

1. Степенно-показательной функции

2. От произведений и частных, содержащих большое число сомножителей:

Алгоритм применения:

Пусть функция положительная и дифференцируема при всех рассматриваемых .

1) Логарифмируем заданное равенство по основанию . Имеем: .

2) Дифференцируем полученное равенство по , учитывая что - независимая переменная, а - функция , тогда: .

3) Результат дифференцирования разрешаем относительно : .

4) Заменяем в последнем равенстве : .

9.4. Дифференцирование функций, заданных неявно:

Пусть как функция задана неявно, т.е.

Алгоритм:

1) Дифференцируем заданное уравнение по , учитывая, что - независимая переменная, - ее функция.

2) Результат дифференцирования разрешаем относительно искомой производной .

9.5. Дифференцирование функций, заданных параметрически:

Пусть как функция задана параметрически, т.е.

, - дифференцируемы при всех рассматриваемых , и

имеет обратную .

Тогда:

9.6. Производные высших порядков:

Определение:

Производной - го порядка функции называется первая производная от

производной порядка: ,

1) Пусть как функция задана неявно, т.е. .

Для нахождения - ой производной продифференцируем заданное равенство по последовательно раз. Результат последнего дифференцирования разрешаем относительно и представляем ее только в переменных и , для чего результаты всех промежуточных дифференцирований представлять только в переменных и .

2) Пусть как функция задана параметрически, т.е. , - дважды дифференцируемы, , функция имеет обратную .

Тогда: ,

9.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:

1) Если при отношение двух функций дает неопределенность , то предел отношения этих функций можно заменить пределом отношения производных от этих функций:

Замечания:

-Правило Лопиталя остается справедливым для раскрытия неопределенности и при ;

-Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, если отношение последовательных производных каждый раз дает неопределенность ;

-Правило Лопиталя применимо лишь в случае, когда существует конечный или бесконечный предел отношения производных, если этот предел не существует, то отсюда не следует, что не существует и предел отношения самих функций.

2) Если при отношение двух функций дает неопределенность , то предел отношения этих функций можно заменить пределом отношения производных от этих функций: .