Принятие решений в условиях неопределенности

Одним из определяющих факторов в таких задачах является внешняя среда или природа, которая может находиться в одном из состояний S₁..., S_k, которые неизвестны лицу, принимающему решение (наблюдатель).

Тогда математическую модель задачи в условиях неопределенности можно сформулировать следующим образом.

Имеется некоторая матрица L размерностью т X п.

Элемент этой матрицы l_it можно рассматривать как полезность результата О_j при использовании стратегии x_i

В зависимости от состояния среды результат O_j достигается с вероятностью р (O_j/ х_і, S_k).

Кроме того, наблюдателю неизвестно распределение вероятностей р (S_j). Относительно состояния среды наблюдатель может высказывать определенные гипотезы. Его предположения о вероятном состоянии среды называются субъективными вероятностями р (S_k), k = 1, 2,...., К.

Если бы величина р (S_k) была известна наблюдателю, то мы бы имели задачу принятия решений в условиях риска. В этом случае решающее правило x_і определяется следующим образом:

На самом деле состояния среды неизвестны и неизвестно также распределение вероятностей р (S_k).

Как выбрать при этом оптимальную стратегию?

Существует несколько критериев для выбора оптимальной стратегии.

Критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя). Этот критерий оптимизирует полезность в предположении, что среда находится в самом невыгодном для наблюдателя состоянии. По данному критерию решающее правило имеет следующий вид:

где

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантиро­ванный выигрыш при наихудшем варианте состояния среды.

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: среда может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью 1 — а й в самом выгодном — с вероятностью а, где а — коэффициент доверия.

Тогда решающее правило записывается так:

Если α= 0, получаем критерий Вальда.

Если α = 1, то приходим к решающему правилу вида max max и (x_t S_k), так называемая стратегия «здорового оптимиста», Хi S_k который верит в удачу.

Критерий Лапласа. Если неизвестны состояния среды, то все состояния среды считают равновероятными:

В результате решающее правило определяется соотношением (3.11) при условии р (S_k) — -т?-'

Критерий Сэвиджа (критерий минимизации «сожалений»). «Сожаление» — это величина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного решения.

Чтобы определить «сожаление», поступают следующим образом. Строят матрицу

В каждом столбце этой матрицы находится максимальный элемент

Его вычитают из всех элементов этого столбца. Далее строим матрицу «сожалений»

Искомую стратегию х_i, которая минимизирует «сожаление», опре­деляют из условия

(3.15)

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого.

Рассмотрим частный случай предложенной выше модели задачи в условиях неопределенности.

Предположим, что каждому возможному состоянию среды соответствует один возможный исход:

где

Таким образом, в данном случае математическая модель задачи принятия решений определяется множеством стратегий X = { х_i }, множеством состояний среды S ={S_κ}, а также следующей матрицей:

где l_ij = u(x_i, S_j).

Множество {р (S_j)} предполагается неизвестным.

В этом случае критерии для выбора оптимальной стратегии имеют следующий вид:

Критерий Вальда

Критерий Гурвица

Критерий Лапласа

Критерий Сэвиджа: