double arrow

И требуется определить изменение x(t) в установившемся процессе, т.е. найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее

Пусть воздействие

Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

Передаточная функция автоматической системы по отношению к управляющему воздействию g(t) есть

(1)

g(t) = A1sin ω1t,

Заметим, что в результате приложения воздействия в системе возникает переходной процесс, который с течением времени стремится к 0, т.к. система предполагается устойчивой. Его мы не рассматриваем. Подобный переход позволяет считать воздействие g(t) заданным на всей оси времени (не рассматривается начальный момент приложения к системе управляющего воздействия) и использовать полученное ранее выражение для спектральной характеристики синусоиды.

Для определения x(t) в установившемся режиме преобразуем обе части дифференциального уравнения (1) по Фурье. При этом имеем в виду, что

;

;

,

получим

(2)

Заметим, что

(3)

передаточная функция, в которой S®

Кроме того

Тогда спектральная характеристика вынужденных колебаний регулируемой величины определяется из (3) в виде

(4)

В (4) функциональный множитель Ф(jω) учитывает изменение спектральной характеристики при прохождении воздействия g(t) через линейную динамическую систему.

Представим комплексную функцию Ф(jω) в показательной форме

(5)

и найдем х(t) по формуле обратного преобразования Фурье:

используя фильтрующие свойства дельта-функции, и учитывая (5), будем иметь

.

Т.к. ,,

получим:

(6)

Отсюда следует, что в установившемся режиме реакция х(t) линейной автоматической системы на синусоидальные воздействия является также синусоидой. Угловые частоты входного и выходного сигнала совпадают. Амплитуда на выходе системы равна А1Ф(jω)│, а начальная фаза равна argФ(jω).

Если на вход линейной системы поступает периодическое воздействие в виде

,

то, используя принцип суперпозиции, справедливый для линейной системы, найдем, что в этом случае вынужденное установившееся движение системы

(7)

Причем величине ω здесь следует придавать дискретные значения, т.е. полагать ω=kω1

Зная частотные спектры сигнала на входе, можно легко определить частотные спектры сигнала на входе системы. Если, например, известен амплитудный частотный спектр Аk входного сигнала g(t), то амплитудный частотный спектр выходного сигнала есть АkФ(jkω1)│.

В рассматриваемых выражениях функция Ф(jω) характеризует динамические свойства самой автоматической системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Она легко может быть получена из передаточной функции формальной заменой S на jω

Функция Ф(jω) от непрерывного аргумента ω называется амплитудно-фазовой характеристикой системы АФХ по отношению к управляющему воздействию g(t), приложенному к системе.

Исходя из (3) АФХ может быть определена также, как отношение спектральной характеристики сигнала на ее входе. Модуль АФХ çФ(jw)ç характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при прохождении последнего через систему, а аргумент ее – фазовый сдвиг сигнала.

Функция çФ(jw)çполучила название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция argФ(jw) – фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Пусть воздействие g(t), приложенное к автоматической системе, представляет собой комплексную гармонику с частотой w1, т.е.

Реакция системы на подобное воздействие в установившемся режиме определяется равенством

Или используя формулу Эйлера

,

а также то, что

;

;

получим

Интеграл в правой части равенства найдем, используя фильтрующие свойства дельта-функции.

определяет в комплексной форме установившуюся реакцию системы на воздействие в виде комплексной гармоники с частотой w1.

АФХ может быть использована не только для анализа установившихся колебаний на выходе автоматической системы, но и для определения процесса регулирования в целом. В последнем случае момент времени t0 приложения к системе управляющего воздействия удобно считать нулевым моментом времени и воспользоваться формулами одностороннего преобразования Фурье. Определив спектральную характеристику и найдя спектральную характеристику регулируемой величины по формуле

(9)

Изменение регулируемой величины x(t) после приложения воздействия g(t) находится по формуле обратного преобразования Фурье.


Сейчас читают про: