Этот критерий позволяет судить об устойчивости САР по виду ее АФХ в разомкнутом состоянии.
Передаточная функция замкнутой САР может быть выражена через передаточную функцию разомкнутой системы W(s).
Ф(s)=W(s)/(1+W(s))
Пусть W(s)=M(s)/Q(s), где M(s) и D(s) – многочлены от s, причем степень многочлена M(s) меньше степени многочлена Q(s). Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
где
Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой, а многочлен Q(s) – разомкнутой автоматической системы. Очевидно, что степени этих многочленов равны.
Образуем сумму
W1(j)=1+W(j)=1+M(j)/Q(j)=D(j)/Q(j)
Из критерия Михайлова следует, что замкнутая система будет устойчивой, если приращение аргумента Yd=n·p/2, где n -степень характеристического многочлена D(s); при этом условии D(s) не имеет корней в правой полуплоскости плоскости S.
В разомкнутом состоянии САР в общем случае может быть неустойчивой, то есть Q(s) может иметь корни в правой полуплоскости (полагаем, что на мнимой оси Q(s) корней не имеет). Если число таких корней равно L, то приращение аргумента (угол поворота вектора Q(j) при изменении
от 0 до ¥)
Yq=n·p/2-p·L
Следовательно, угол поворота вектора суммы W1(j) при изменении от 0 до ¥
Y=Yd - Yq= n·p/2 - n·p/2-n·L=p L
Для устойчивой системы вектор W1(j) при изменении от 0 до ¥ повернется на угол pL в положительном направлении (против часовой стрелки) так как функция W(j) отличается от W1(j) на (-1), то для устойчивой замкнутой системы вектор W(j) при изменении oт 0 до ¥ повернется на угол pL относительно точки (-1, j0), иными словами АФХ разомкнутой системы должна охватывать L/2 раз точку (-1, j0).
На основании выше изложенного, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:
-1;j0
Автоматическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы W(j) не охватывает точку (-1,j0). Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический многочлен имеет L корней в правой полуплоскости, то для устойчивости автоматической системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ W(j) охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении L/2 раз.
Примеры. Разомкнутая система неустойчива
L=1 y=p, охватывает ½ раз - система устойчива
П++П-= ½
y=-p¹p, - система не устойчива
П++П-=½-1¹½ - не устойчива
L=2
y=2p, охватывает 1 раз L/2 – замкнутая система устойчива
П+-П -= 1 – устойчива.
Если АФХ имеет сложную форму, то определение результирующего поворота (охвата) сложно. В этом случае удобно использовать правило переходов.
Переход АФХ W(jw) через участок вещественной оси (-¥,-1) с возрастанием частоты называется положительным если он проходит “сверху”-”вниз” и отрицательным, если “снизу”-”вверх”. Обозначают + и – в кружочках. Если АФХ начинается на вещественной оси в интервале (-¥;-1), то эта точка считается за + ½ перехода, если вниз, и за - ½, если вверх.
Если разомкнутая система является неустойчивой, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между общим числом П+ - положительных и П -- отрицательных переходов АФХ W(j) через участок вещественной оси (-¥;-1) при изменении частоты от 0 до ¥ было равно L/2, где L –число правых корней характеристического уравнения системы.
П+ -П - =L/2
Разомкнутая система – устойчива
L=0
y=0
П+-П -=0
устойчива замкнутая система
y=0
П+-П-=0 замкнутая система устойчива
не охватывает
y=2p;¹0
П+-П-= -1¹0 замкнутая система не устойчива
охватывает
Если АФХ проходит через (-1;j0) то замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.
Некоторые особенности применения критерия Найквиста появляются при исследовании устойчивости систем, нейтральных в разомкнутом состоянии. Это системы имеющие нулевые корни (апериодическая граница устойчивости), а также системы, находящиеся в разомкнутом состоянии, на колебательной границе устойчивости, то есть имеющих чисто мнимые корни.
Например, если Q(s) имеет один нулевой корень, то годограф W(j) при ®0 обращается в бесконечность.
В этом случае для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, включают нулевой корень в левую полуплоскость, огибая его справа окружностью бесконечно малого радиуса r®0. При этом годограф W(j) дополняется частью окружности бесконечно большого радиуса, проводимой по часовой стрелке от положительной полуоси, то есть на угол p/2.
При нескольких нулевых корнях, угол дополнения АФХ окружностью бесконечно малого радиуса yдоп=¡p/2 где ¡- число нулевых корней (порядок астатизма)
Аналогичные дополнения приходится проводить при наличии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы, так как в этом случае АФХ имеют разрывы