double arrow

Критерий Найквиста. Этот критерий позволяет судить об устойчивости САР по виду ее АФХ в разомкнутом состоянии

Этот критерий позволяет судить об устойчивости САР по виду ее АФХ в разомкнутом состоянии.

Передаточная функция замкнутой САР может быть выражена через передаточную функцию разомкнутой системы W(s).

Ф(s)=W(s)/(1+W(s))

Пусть W(s)=M(s)/Q(s), где M(s) и D(s) – многочлены от s, причем степень многочлена M(s) меньше степени многочлена Q(s). Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:


где

Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой, а многочлен Q(s) – разомкнутой автоматической системы. Очевидно, что степени этих многочленов равны.

Образуем сумму

W1(j)=1+W(j)=1+M(j)/Q(j)=D(j)/Q(j)

Из критерия Михайлова следует, что замкнутая система будет устойчивой, если приращение аргумента Yd=n·p/2, где n-степень характеристического многочлена D(s); при этом условии D(s) не имеет корней в правой полуплоскости плоскости S.

В разомкнутом состоянии САР в общем случае может быть неустойчивой, то есть Q(s) может иметь корни в правой полуплоскости (полагаем, что на мнимой оси Q(s) корней не имеет). Если число таких корней равно L, то приращение аргумента (угол поворота вектора Q(j) при изменении

от 0 до ¥)

Yq=n·p/2-p·L

Следовательно, угол поворота вектора суммы W1(j) при изменении от 0 до ¥

Y=Yd - Yq= n·p/2 - n·p/2-n·L=p L

Для устойчивой системы вектор W1(j) при изменении от 0 до ¥ повернется на угол pL в положительном направлении (против часовой стрелки) так как функция W(j) отличается от W1(j) на (-1), то для устойчивой замкнутой системы вектор W(j) при изменении oт 0 до ¥ повернется на угол pL относительно точки (-1, j0), иными словами АФХ разомкнутой системы должна охватывать L/2 раз точку (-1, j0).

На основании выше изложенного, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:


-1;j0


Автоматическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы W(j) не охватывает точку (-1,j0). Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический многочлен имеет L корней в правой полуплоскости, то для устойчивости автоматической системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ W(j) охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении L/2 раз.

Примеры. Разомкнутая система неустойчива

L=1 y=p, охватывает ½ раз - система устойчива

П+-= ½

y=-p¹p , - система не устойчива

П+-=½-1¹½ - не устойчива

L=2

y=2p , охватывает 1 раз L/2 – замкнутая система устойчива

П+-= 1 – устойчива.

Если АФХ имеет сложную форму, то определение результирующего поворота (охвата) сложно. В этом случае удобно использовать правило переходов.

Переход АФХ W(jw) через участок вещественной оси (-¥,-1) с возрастанием частоты называется положительным если он проходит “сверху”-”вниз” и отрицательным, если “снизу”-”вверх”. Обозначают + и – в кружочках. Если АФХ начинается на вещественной оси в интервале (-¥;-1), то эта точка считается за + ½ перехода, если вниз, и за - ½ , если вверх.

Если разомкнутая система является неустойчивой, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между общим числом П+ - положительных и П -- отрицательных переходов АФХ W(j) через участок вещественной оси (-¥;-1) при изменении частоты от 0 до ¥ было равно L/2 , где L –число правых корней характеристического уравнения системы.

П+ - =L/2

Разомкнутая система – устойчива

L=0

y=0

П+-=0

устойчива замкнутая система

y=0

П+-=0 замкнутая система устойчива

не охватывает

 
 


y=2p;¹0

П+-= -1¹0 замкнутая система не устойчива

охватывает

 
 


Если АФХ проходит через (-1;j0) то замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.

Некоторые особенности применения критерия Найквиста появляются при исследовании устойчивости систем, нейтральных в разомкнутом состоянии. Это системы имеющие нулевые корни (апериодическая граница устойчивости), а также системы, находящиеся в разомкнутом состоянии, на колебательной границе устойчивости, то есть имеющих чисто мнимые корни.

Например, если Q(s) имеет один нулевой корень, то годограф W(j) при ®0 обращается в бесконечность.

       
 
   
 


В этом случае для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, включают нулевой корень в левую полуплоскость, огибая его справа окружностью бесконечно малого радиуса r®0. При этом годограф W(j) дополняется частью окружности бесконечно большого радиуса, проводимой по часовой стрелке от положительной полуоси, то есть на угол p/2 .

При нескольких нулевых корнях, угол дополнения АФХ окружностью бесконечно малого радиуса yдоп=¡p/2 где ¡- число нулевых корней (порядок астатизма)


Аналогичные дополнения приходится проводить при наличии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы, так как в этом случае АФХ имеют разрывы

   
 



Сейчас читают про: