Критерий устойчивости Рауса-Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости, накладывающим ограничения на коэффициенты характеристического уравнения. Процессор математики Кембриджского университета Раус в 1875 году сформулировал условия устойчивости в виде таблицы. Швейцарский математик Гурвиц в 1895 году опубликовал критерий устойчивости в виде системы определений. Оба дают одни и те же алгебраические неравенства и отличаются только способами их получения. Рассмотрим этот критерий в форме Гурвица.
Если характеристическое уравнение системы имеет вид уравнения (2), причем a0>0, то для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы были положительными n определителей Гурвица – D1,D2...Dn.
Определители Гурвица представляют собой диагональные определители квадратной матрицы n-го порядка, составленной из коэффициентов (2), которая строится следующим образом:
По главной диагонали записываются коэффициенты а1,а2...аn.
Вниз по столбцу от этих коэффициентов расположены коэффициенты с убывающими номерами, а вверх – с возрастающими. При этом полагается ai=0, если i<0 или i>n. Такая матрица называется матрицей Гурвица Г.
; ; ; .
Легко убедиться в том, что Dn=anDn-1. Поэтому последний определитель Гурвица Dn вычислять не нужно, а условие >0 выполняется при an>0 и
Dn-1>0.
Условие, при котором САР находится на границе устойчивости можно получить, положив Dn=0 или anDn-1=0.
Условие an=0, Dn-1¹0 – соответствует апериодической границе устойчивости.
Условие an¹0, Dn-1=0 – соответствует колебательной границе устойчивости.
Пример. Исследуем устойчивость простейшей следящей системы, в которую входит инерционный усилитель с постоянной времени Ty и исполнительный двигатель с постоянной времени Tм. Все остальные элементы системы считаются безинерционными.
В этом случае передаточная функция разомкнутой системы
W(S)=K/(s(Tмs+1)(Tуs+1)),
где k=kдат ky kд kp, а передаточная функция замкнутой системы
Характеристическое уравнение системы имеет вид
a0s3+a1s2+a2s+a3=0;
где a0=ТмТу; a1= Тм+Ту; a2=1; a3=k
или
Тм>0; Тy>0; Тм+Тy>k·Тм·Тy , или .
Система будет находиться на колебательной границе устойчивости, если , то есть
ккр=1/Тy+1/Тм.
Полагая Тм =const построим область устойчивости в пространстве параметров k и Tу,
Видно, что увеличение постоянных времени Tу и Tм сужает область устойчивости, уменьшая верхнее значение коэффициента k.