double arrow

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости, накладывающим ограничения на коэффициенты характеристического уравнения. Процессор математики Кембриджского университета Раус в 1875 году сформулировал условия устойчивости в виде таблицы. Швейцарский математик Гурвиц в 1895 году опубликовал критерий устойчивости в виде системы определений. Оба дают одни и те же алгебраические неравенства и отличаются только способами их получения. Рассмотрим этот критерий в форме Гурвица.

Если характеристическое уравнение системы имеет вид уравнения (2), причем a0>0, то для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы были положительными n определителей Гурвица – D1,D2...Dn.

Определители Гурвица представляют собой диагональные определители квадратной матрицы n-го порядка, составленной из коэффициентов (2), которая строится следующим образом:

По главной диагонали записываются коэффициенты а12...аn .

Вниз по столбцу от этих коэффициентов расположены коэффициенты с убывающими номерами, а вверх – с возрастающими. При этом полагается ai=0 , если i<0 или i>n. Такая матрица называется матрицей Гурвица Г.


; ; ; .

Легко убедиться в том, что Dn=anDn-1 . Поэтому последний определитель Гурвица Dn вычислять не нужно, а условие >0 выполняется при an>0 и

Dn-1>0.

Условие, при котором САР находится на границе устойчивости можно получить, положив Dn=0 или anDn-1=0.

Условие an=0, Dn-1¹0 – соответствует апериодической границе устойчивости .

Условие an¹0, Dn-1=0 – соответствует колебательной границе устойчивости.

Пример. Исследуем устойчивость простейшей следящей системы, в которую входит инерционный усилитель с постоянной времени Ty и исполнительный двигатель с постоянной времени Tм. Все остальные элементы системы считаются безинерционными.

В этом случае передаточная функция разомкнутой системы

W(S)=K/(s(Tмs+1)(Tуs+1)),

где k=kдат ky kд kp, а передаточная функция замкнутой системы


Характеристическое уравнение системы имеет вид

a0s3+a1s2+a2s+a3=0;

где a0мТу; a1= Тму; a2=1; a3=k

Условия устойчивости:

или

Тм>0; Тy>0; Тмy>k·Тм·Тy , или .

Система будет находиться на колебательной границе устойчивости, если , то есть

ккр=1/Тy+1/Тм.

Полагая Тм =const построим область устойчивости в пространстве параметров k и Tу,

Видно, что увеличение постоянных времени Tу и Tм сужает область устойчивости, уменьшая верхнее значение коэффициента k.


Сейчас читают про: