Свойства функции распределения

II

Пусть —вероятностное пространство, а — случайная величина на нем. Функцией распределения случайной величины называют функцию

.

Свойства функции распределения

1) Если , то .

2) Если , то , т.е. — неубывающая функция.

3) а); б)

4) непрерывна слева, т.е.

5)

6)

Доказательство.

1) Если , то , причем , отсюда и из свойств вероятностей следует требуемое.

2) Если , то .

3) Покажем, что для любых последовательностей и таких, что

, , , .

Имеют место равенства:

,

Не трудно увидеть, что:

и .

Поэтому, применяя свойство непрерывности, имеем

.

Далее

и

Поэтому, по свойству непрерывности вероятностной меры, получим:

4) Пусть – произвольная числовая последовательность такая, что

, .

Покажем, что

Не трудно видеть, что имеет место равенство:

.

Так как

,

то по свойству непрерывности вероятности

.

5) По определению , где — числовая последовательность такая, что , , . Поскольку

,

а также

.

Согласно свойству непрерывной вероятности

.

6) Так как

,

а также

,

то

.