Теорема Бернулли. Рассмотрим последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может быть только два исхода — успех У с постоянной вероятностью и неудача Н с

Рассмотрим последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может быть только два исхода — успех У с постоянной вероятностью и неудача Н с вероятностью . Тогда для — частоты появления успеха в первых испытаниях справедлива теорема, которая является следствием теоремы Чебышева.

Теорема. Для любого справедливо равенство.

Доказательство. Введем в рассмотрение случайные величины :

Тогда — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, , . Следовательно, для нее выполнены условия теоремы Чебышева. Так как случайная величина представима в виде

,

то из теоремы Чебышева следует утверждение теоремы.