Формула свертки

Пусть и независимые случайные величины с функциями распределения и соответственно. Найти функцию распределениявеличины .

Так как случайные величины входят в сумму симметрично, то, аналогично предыдущим рассуждениям, имеем

.

Таким образом, справедливо

.

Определение

Функция , определяемая формулой , называетсясверткой функций распределения и и обозначается .

Если и независимы, имеют плотности распределения и соответственно, то

.

Определение

Функция , определяемая формулой называется сверткой плотностей распределения и и обозначается .

Если и независимые целочисленные дискретные случайные величины такие, что и ,тогда справедливы формулы

.

Пример. Найдем распределение суммы двух независимых случайных величин и , имеющих распределение Пуассона с параметрами и :

, ;

Используя формулу суммы получим

Таким образом, сумма двух независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметрами и , распределена по закону Пуассона с параметром .