Объемные и поверхностные силы

Силы, действующие на жид­кую частицу, подразделяются на два типа: объемные и по­верхностные.

К объемным (или массовым) силам принадлежат, например, сила тяжести, центробежная сила. Массовые силы другой природы здесь не рассматриваются. Объемные силы действуют в каждой точке элементарного объема сплошной среды. Пусть – главный вектор объемных сил, действующих в объеме . Тогда вводится понятие плотности распределения объемных сил в виде предела:

. ( 2.1 )

Как видим, размерность соответствует размерности ускорения: . Весу, например, соответствует равенство , где – ускорение силы тяжести.

Перейдем теперь к рассмотрению поверхностных сил. Пусть – главный вектор силы, приложенной, с одной стороны, к пло­щадке . Индекс «n» означает не проекцию силы, а указание на то, что сила действует на площадке , произвольно ориентиро­ванной в пространстве. Целесообразно ввести в рассмотрение вмес­то силы напряжение:

. (2.2)

Рассмотрим тетраэдр, три грани которого параллельны коорди­натным, плоскостям, а четвертая ориентирована произвольным образом (рис. 2.1).

Обозначим площади граней , , и , геометрический смысл которых ясен из рисунка 2.1. Ориентация площадки определяет­ся единичной нормалью с направляющими косинусами п_х, п_у, п_г. Тогда справедливы соотношения, , . Пусть высота тетраэдра равна h. Тогда его объем равен. Воспользуемся вторым законом Ньютона и составим уравнение движения тетраэдра:

,

где – ускорение центра масс тетраэдра.

Переходя теперь к пределу (устремляя ), получим:

(2.3)

Получили формулу Коши, утверждающую, что на гранях образуется система взаимно уравновешенных напряжений. Проектируя векторное уравнение (2.3) на оси координат, получим три скалярных уравнения:

,

, (2.4)

.

Это означает, что напряженное состояние в произвольной точке сплошной среды характеризуется девятью компонентами, образую­щими тензор второго ранга или диаду:

, (2.5)

У этого тензора имеются следующие свойства:

, (2.6)

т.е. тензор напряжений в произвольной точке пространства обладает свойством симметрии (теорема Коши о взаимности касательных напряжений). Он содержит лишь шесть независимых компонентов.

В случае отсутствия касательных напряжений давление в точке является скалярной величиной, т.е. оно не зависит от ориентации площадки, проходящей через рассматриваемую точку.