МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЙ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
ЖИДКОСТЕЙ
Тема 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЙ КАПЕЛЬНЫХ
Вопросы для самопроверки по темам 1,2
- Опишите известные вам агрегатные состояния вещества.
- Перечислите характерные точки на диаграмме состояния жидкость-пар.
- Адибата Тейта.
- Чем обуславливается свойство вязкости жидкости? Закон Ньютона о касательных напряжениях.
- Объясните явление поверхностного натяжения. Коэффициент поверхностного натяжения.
- Формула Лапласа.
- Сущность подобия двух явлений. Виды подобий. Какие вам известны критерии подобия?
(Лекций 4 ч., СРС 4 ч.)
Два способа описания движения жидкости. Переменные Эйлера и Лагранжа.
Законы сохранения. Течение невязкой жидкости. Уравнения Эйлера.
Интеграл Бернулли.
Граничные условия на твердых стенках и на жидких поверхностях раздела. Кинематическое и динамическое условие на свободной поверхности.
Концепция потенциального течения и пограничного слоя. Кинематика потенциальных течений. Уравнение Лапласа. Краевые задачи для потенциала скорости и функции тока.
Интеграл Коши-Лагранжа.
Граничные условия на свободных поверхностях при потенциальном течении Разделение задачи на статическую и динамическую при отсутствии свободных поверхностей.
Изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости. Уравнения Навье-Стокса. Турбулентные течения. Подходы Рейнольдса и Колмогорова. Проблема замыкания.
ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ И ПОНЯТИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. СИСТЕМА КООРДИНАТ
Классическая гидромеханика основана на трех утверждениях:
1) Справедлива классическая механика Ньютона: движения происходят со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, и рассматриваются макроскопические объекты, размеры которых многократно превосходят размеры микромира.
2) Справедлива классическая термодинамика: предполагается, что в окрестности каждой точки жидкость находится в состоянии термодинамического равновесия или близком к нему, вследствие чего можно пользоваться термодинамическими законами.
3) Справедлива гипотеза сплошности: она предполагает замену реальной жидкости с ее дискретной молекулярной структурой моделью сплошного распределения вещества по рассматриваемому объему. Возможность такой замены и носит название гипотезы сплошности.
Выделим объем жидкости ,ограниченный поверхностью , и будем считать, что в нем заключена масса жидкости . Средняя плотность жидкости может быть определена как . Если объем достаточно велик, то в силу неоднородности среды средняя плотность будет зависеть от . По мере уменьшения объема распределение масс будет все более однородным, и средняя плотность будет постепенно приближаться к некоему постоянному значению. Как только линейные размеры выделенного объема жидкости станут сопоставимы с размерами молекул, средняя плотность вновь начнет испытывать резкие колебания, так как в объёме может находиться разное число молекул. Отсюда возникает определение элементарной жидкой частицы (или просто частицы). Ее размеры должны быть пренебрежимо малы по сравнению с характерными размерами изучаемого течения, вследствие чего средние характеристики жидкости по объему будем считать постоянными. С другой стороны, размеры частицы должны быть так велики, чтобы не учитывать молекулярную структуру жидкости. В таком случае говорят о физически бесконечно малом объеме жидкости, эффективно равном нулю. Сформулированное определение частицы позволяет говорить о характеристиках сплошной среды в данной точке. Здесь следует сразу подчеркнуть принципиальное различие между элементарной жидкой частицей, стягиваемой в точку, и точкой пространства.
Совокупность одних и тех же жидких частиц, во все время движения остающихся на одном контуре, поверхности или в объеме, называется соответственно жидким контуром, жидкой поверхностью или жидким объемом.
Итак, согласно гипотезе сплошности, жидкость моделируется непрерывной сплошной средой. С математической точки зрения это означает, что функции, характеризующие состояние среды, должны быть непрерывными и дифференцируемыми в пространстве и времени. Нарушение непрерывности допускается лишь на отдельных линиях или поверхностях.