Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в пространстве V заданы два базиса: и . Координаты вектора x в этих базисах обозначим через и соответственно. Установим связь между координатами вектора в различных базисах. Выразим векторы первого базиса через векторы второго: . По определению координат . Подставим вместо векторов базиса e, их выражения через векторы базиса f, получим равенство. Преобразуем левую часть равенства (поменяем порядок суммирования) . В силу единственности координат вектора выводим равенства , или в матричном виде , где на пересечении строки i и столбца j матрицы P стоит . Матрица P называется матрицей перехода. Отметим, что в j столбце матрицы P стоят координаты вектора в базисе f.

Обозначим через матрицу перехода от базиса e к базису f. Равенство справедливо для всех векторов x. Следовательно, , или . В качестве следствия из этого равенства и условия существования обратной матрицы выводим невырожденность матрицы перехода. Обратно, пусть матрица P – невырожденная. Положим . Система векторов образует базис в пространстве V. Действительно, поскольку матрица P невырожденная, то к ней существует обратная матрица . Далее, (выражение представляет собой элемент произведения матриц PT=E, стоящий на пересечении строки s и столбца i). Поскольку каждый вектор из базиса e линейно выражается через векторы системы f, то система f является полной, а т.к. система состоит из n векторов, то она является минимальной, а, значит, образует базис пространства. Матрицей перехода от базиса e к базису f является матрица P.

Рассмотрим систему векторов из арифметического пространства . Матрицу, составленную из столбцов , обозначим A.

Теорема 7.8 Критерий линейной независимости системы векторов.

Система векторов из арифметического пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю.

Доказательство. Если система линейно зависима, то найдутся числа не все равные нулю, что . Не нарушая общности можно считать, что (иначе перенумеруем векторы), и (иначе поделим все числа на ). Определитель не изменится, если к первому столбцу прибавить остальные столбцы с коэффициентами , а определитель матрицы, содержащий нулевой столбец равен нулю. Таким образом, если система векторов линейно зависима, то определитель матрицы равен нулю. Если матрица A невырожденная, её можно рассматривать как матрицу перехода от базиса к .

Система векторов из арифметического пространства является линейной независимой тогда и только тогда, когда её можно дополнить до базиса всего пространства какими то векторами из системы . По доказанной теореме, система образует базис в том и только том случае, если определитель матрицы отличен от нуля. Определитель этой матрицы, с точность до знака, совпадает с минором k-го порядка матрицы , получающегося вычёркиванием строчек с номерами . Следовательно, система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда все миноры k-го порядка матрицы равны нулю. Оформим полученный результат в виде теоремы.

Теорема 7.9 Система линейно зависима тогда и только тогда, когда все миноры k-го порядка матрицы равны нулю.