Страхование на чистое дожитие

Цели

Указания по самостоятельному изучению темы

ГЛАВА 3. Теория страхования на основе использования

таблиц продолжительности жизни и

связанных с этими таблицами характеристик и функций

Иметь представление:

· о базовых понятиях теории страхования жизни (страхование жизни, страхование на чистое дожитие, различные виды рент);

· о принципе равенства страховых обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора.

Знать:

· актуарную современную стоимость различных видов страхования;

· расчетные формулы для премий различных видов страхования.

Уметь:

· рассчитывать актуарную современную стоимость будущего страхового возмещения;

· рассчитывать величину взносов.

Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах: страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом случае при наступлении страхового события (смерти или дожития) выплачивается единовременно определенная сумма денег, во втором случае – страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного периода времени или пожизненно. В классическом страховании жизни имеют место только два страховых события: дожитие до определенного срока и смерть в период действия договора.

Ожидаемая текущая стоимость выплат

Наиболее простым вариантом является страхование на чистое дожитие, которое заключается в страховании определенной суммы денег на определенный срок. В случае смерти страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается, и взносы не возвращаются.

Определим текущую стоимость страховых выплат на момент заключения договора страхования. Пусть группа страхователей численностью в возрасте заключила со страховщиком договор страхования на дожитие сроком на лет. Дожившие до окончания срока страхования должны получить страховую сумму . Очевидно, что суммарная выплата, которую должен осуществить страховщик по окончании срока договора, равняется числу доживших до возраста , умноженному на страховую сумму: , где – коэффициент дисконтирования, – годовая процентная ставка, или годовая норма доходности. В расчете на каждого страхователя, заключившего договор, это составляет величину

. (1)

Таким образом, получили величину единовременного взноса, который должен заплатить каждый страхователь при заключении договора.

Этот же результат можно получить другим путем, рассчитывая накопленную стоимость фонда, сформированного взносами страхователей в момент заключения договора. Если каждый страхователь в возрасте внес взнос , то первоначальная стоимость фонда равна . Множитель наращения за лет равен . К моменту окончания договора накопленная стоимость этого фонда составит . Приравнивая эту величину к сумме страховых выплат , получим формулу (1).

Если сравнить формулу (1) с формулой (приращение начальной суммы при непрерывной капитализации процентов), то видно, что она отличается наличием множителя – вероятностью дожития до возраста лица, застрахованного в возрасте . Эта величина всегда меньше единицы, поэтому нетто-взнос каждого застрахованного будет меньше текущей стоимости единичной страховой суммы. Причина этого заключается в том, что часть застрахованных, уплативших взносы, не доживает до конца срока страхования, и их взносы перераспределяются между оставшимися в живых. С учетом этого обстоятельства взнос каждого из них уменьшается на соответствующую величину. Величину в правой части формулы (1) называют актуарной текущей стоимостью страховой суммы или ожидаемой текущей стоимостью.

Прибыль от смертности

Перераспределение взносов умерших в пользу доживших дает дополнительную прибыль от смертности. Определим годовую норму доходности с учетом прибыли от смертности. Если в начале года величина страхового фонда составляет , численность застрахованных – , величина индивидуального страхового фонда (в расчете на одного застрахованного) – , то в конце года величина страхового фонда увеличится за счет процентного роста до значения , численность застрахованных уменьшится на величину , а величина индивидуального страхового фонда станет равной . Годовая норма доходности для возраста будет равна

. (2)

Эта норма доходности называется актуарной годовой нормой доходности (однако термин не является общепринятым). Из формулы (2) видно, что при невысокой процентной ставке актуарная годовая норма доходности может оказаться заметно выше ее. Так при страховании жизни в странах с развитой экономикой величина процентной ставки обычно составляет 4-5%, тогда как вероятность смерти в течение года, согласно таблице смертности, составляет для мужчин в возрасте 50 лет 2,2%, в возрасте 60 лет – 4,3%. Для актуарной нормы доходности можно ввести также актуарный годовой множитель наращения и актуарный годовой дисконтный множитель:

(3)

Формулу (1) можно получить, осуществляя дисконтирование суммы с актуарным дисконтным множителем (что эквивалентно дисконтированию с переменной процентной ставкой):

(4)

Годовая процентная ставка, используемая в расчетах по страхованию жизни, называется технической процентной ставкой или техническим процентом. Технический процент выбирается страховщиком в таком размере, чтобы при самых неблагоприятных обстоятельствах обеспечить выбранную доходность инвестиций. Обычно величина технического процента ниже той фактической нормы доходности, которую получает страховщик.

Поскольку динамика приращения капитала и демографические процессы никак не зависят от величины страховой суммы, в актуарной математике принято производить все расчеты для страховой суммы, равной единице. Величину страхового взноса с единицы страховой суммы называют тарифной ставкой или тарифом. Для любой конкретной страховой суммы величину страхового взноса легко получить, умножая тарифную ставку на эту сумму.

Для обеспечения единого подхода к решению актуарных задач по страхованию жизни в 1898 г. на втором Международном конгрессе актуариев в Лондоне были приняты единые актуарные обозначения. Для обозначения различного рода единовременных платежей используется заглавная буква , для регулярных периодических платежей – строчная буква . При страховании на чистое дожитие ожидаемая текущая стоимость страховых выплат в расчете на одного страхователя со страховой суммы, равной единице, обозначается следующим образом:

. (5)

Формула (5) определяет ожидаемую текущую стоимость единичной суммы, т.е. является актуарным дисконтным множителем за лет в соответствии с формулой (4). Эта величина имеет свойство

– актуарное дисконтирование на срок лет от возраста до возраста эквивалентно последовательному актуарному дисконтированию сначала на лет от возраста до возраста , а затем еще на лет до возраста .

Коммутационные функции

Для упрощения актуарных расчетов часто используют так называемые коммутационные функции, для которых составлены таблицы. Функция, используемая в страховании на дожитие

. (6)

Ее смысл – если при рождении группы детей численностью их страхуют на дожитие с условием выплаты единичной страховой суммы по достижению возраста , то формула (6) дает ожидаемую текущую стоимость суммы страховых выплат, т.е. суммарную страховую премию. С помощью коммутационной функции формулу (5) можно представить в виде

. (7)