Решение. Примем размер страховой суммы в качестве новой денежной единицы

Примем размер страховой суммы в качестве новой денежной единицы.

Прежде всего, мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию суммарного ущерба .

Поэтому

Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина должна быть равной = 1,645, т.е. (от величины страхового пособия) или в абсолютных цифрах около 3 483 750 руб.

Задача 4.2. Предположим, что страховая компания заключила = 10000 договоров страхования жизни сроком на один год на следующих условиях: в случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая компания выплачивает наследникам 1000000 руб., а в случае смерти в течение года от естественных причин компания выплачивает наследникам 250000 руб. Компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года. Вероятность смерти от несчастного случая одна и та же для всех застрахованных и равна 0.0005. Вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста. В первом приближении можно разбить застрахованных на две возрастные группы, содержащие = 4000 и = 6000 человек с вероятностью смерти в течение года = 0.004 и = 0.002 соответственно.

Подсчитайте величину премии, гарантирующую вероятность выполнения компанией своих обязательств, равную 95%.

Решение.

Примем сумму руб. в качестве единицы измерения денежных сумм. Тогда для первой группы договоров индивидуальный убыток принимает три значения: 0, 1 и 4 с вероятностями 0.9955, 0.0040 и 0.0005 соответственно:

0,9955	0,004	0,0005

Среднее значение и дисперсия величины индивидуального убытка для первой группы застрахованных есть

,

Для второй группы договоров индивидуальный убыток принимает те же три значения 0,1 и 4, но с другими вероятностями: 0,9975, 0,002 и 0,0005:

0,9975	0,002	0,0005

В этой группе среднее значение и дисперсия индивидуального убытка есть

Среднее значение и дисперсия суммарного убытка равны:

Для того, чтобы гарантировать 95% вероятность неразорения, резервный фонд компании должен быть равен , где добавочная сумма определяется по формуле

и в нашем случае будет равна

Рассмотрим теперь вопрос о назначении индивидуальных премий.

I. Если добавочная сумма делится пропорционально нетто-премиям, то в соответствии с (6.5.3) относительная страховая надбавка одна и та же для всех договоров и равна

Поэтому для договоров из первой группы премия равна

руб.

Для договоров из второй группы премия равна

руб.

II. Если добавочная сумма делится пропорционально дисперсиям, то коэффициент пропорциональности есть

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

так что премия есть

руб.

а относительная страховая надбавка

Для договоров из второй группы страховая надбавка равна

так что премия есть

руб.

а относительная страховая надбавка

III. Если добавочная сумма делится пропорционально средним квдратическим отклонением (они равны для договоров первой группы и для договоров второй группы), то коэффициент пропорциональности есть

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

так что премия есть

руб.

а относительная страховая надбавка

Для договоров из второй группы страховая надбавка равна

так что премия есть

руб.

а относительная страховая надбавка

Итак, изменение принципа назначения индивидуальных премий приводит к уменьшению относительной страховой надбавки для договоров первой группы:

Соответственно для договоров второй группы относительная защитная надбавка увеличивается: . Это связано с тем, что коэффициент рассеяния суммарного ущерба есть

в то время как для договоров первой (второй) группы он равен (соответственно ). Коэффициент вариации величины индивидуального убытка для договоров первой группы есть

а для договоров второй группы он равен

Средний коэффициент вариации, усредненный по всему портфелю с весами , есть

Задача 4.3. Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на один год. Информация относительно структуры покрытия приведена в следующей таблице:

Страховая сумма	Причина смерти	Вероятность
500 000	Обычная	0,1
1 000 000	Несчастный случай	0,01

Относительная защитная надбавка равна 20%.

Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик использует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.

Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?