Математическая модель автоматической системы

В теории автоматического управления в общем случае рассматривается замкнутая система автоматического управления, которую можно представить в виде изображённой на рис. 18 структуры. Устройство управления УУ постоянно сравнивает значение управляемой величины y(t) с заданным значением v(t) этой величины, вычисляя ошибку . На основе ошибки определяется управляющее воздействие u(t). Функция сравнения на структурной схеме изображается в виде сравнивающего элемента, представляемого в виде кружка, разделённого на четыре сектора. Каждый сектор приписывается одному сигналу. Если сигнал вычитается, то его сектор заливается черным цветом.

При функционировании системы воздействия и управляемые величины изменяются во времени, т.е. происходят процессы. При описании системы необходимо математически описать эти процессы и их зависимость от параметров системы, определяемых её конструкцией и техническими решениями. Основным является процесс изменения управляемой величины во времени y(t). Описание системы представляет собой её формализованную математическую модель.

В каждый момент времени состояния любого сигнала в системе можно охарактеризовать величиной сигнала, скоростью его изменения, ускорением изменения и производными более высокого порядка. Например, состояние объекта можно описать в момент времени t₁ следующими величинами:

.

Математическое описание системы будет представлять собой некоторое уравнение, в которое будут входить величины воздействий, управляемые величины и их производные. Следовательно, такое уравнение будет дифференциальным уравнением и в общем случае его можно записать следующим образом:

.

Решением этого уравнения является функция описывающая изменение управляемой величины системы во времени или процесс в системе. Дифференциальное уравнение описывает поведение системы в динамике. Для характеристики системы в статике следует принять и , тогда система опишется зависимостью которая называется статической характеристикой системы.

Пример 1. В качестве примера рассмотрим простейшую механическую систему, схема которой показана на рис. 19. Масса m связана с неподвижной стойкой упругой связью (пружина с жёсткостью G) и может перемещаться в горизонтальном направлении (перемещение l). Движению массы сопротивляется гидравлический демпфер, характеризуемый коэффициентом жидкостного сопротивления η.

Если к массе m приложить горизонтальную силу F(t), то масса начнет двигаться. Движение массы будет характеризоваться перемещением l ее центра. Уравнение движения массы можно составить исходя из условия равновесия сил, действующих на массу в каждый момент времени t:

.

Таким образом, рассматриваемая механическая система может быть описана уравнением второго порядка. Решением этого уравнения будет функция l(t), которая описывает характер движения массы во времени. Для статики все производные равны нулю (масса не движется) и положение центра массы определится соотношением

,

т.е статическая характеристика определяется свойствами пружины.

Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим генератор постоянного тока независимого возбуждения, показанного на рис. 20. Это электрическая машина, имеющая вращающийся якорь с обмоткой и неподвижный статор, также имеющий обмотку (обмотка возбуждения). Якорь генератора вращается с помощью приводного двигателя. В результате в обмотке якоря возникает электрический ток, который используется для питания подключаемых устройств.

Входом генератора будет напряжение возбуждения U_в, поскольку общепринятым способом управления выходным напряжением генератора является изменение его напряжения возбуждения. Выходом генератора является напряжение U_г на обмотке его якоря. Эти напряжения изменяются во времени, и процесс их изменения зависит от технических характеристик генератора и особенностей его устройства.

Если скорость вращения вала генератора постоянна, то генератор можно описать следующими уравнениями:

где m – некоторый коэффициент.

Первое уравнение представляет собой уравнение Кирхгофа, записанное для электрической цепи обмотки возбуждения, а второе – приближённо описывает зависимость выходного напряжения U_г(t) от тока возбуждения генератора i(t). Выражая из второго уравнения ток через напряжение на выходе генератора, получим

.

Обозначим и получим описание генератора в виде дифференциального уравнения первого порядка

.

Получено дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее связь между напряжением возбуждения генератора (управляющее воздействие) и напряжением на выходе генератора (управляемая величина). Решение уравнения U_г(t) описывает процесс изменения напряжения генератора во времени при изменении напряжения возбуждения.

Таким образом, процессы в системе автоматического управления описываются дифференциальным уравнением произвольного порядка n. В общем случае это уравнение нелинейно и может иметь любой вид. Дифференциальное уравнение системы в совокупности с начальными и граничными условиями представляет собой математическую модель системы. Функция решения дифференциального уравнения описывает процесс в системе автоматического управления. Порядок дифференциального уравнения системы принято связывать с порядком системы автоматического управления.