Лекция 14 3 страница

Уравнения (4.5) называются уравнениями возмущенного движения. Их тривиальные решения:

х₁ = 0, …, х _n = 0, (4.6)

при которых, как видно из (4.4), у_к= у^*_к, называются уравнениям невозмущенного движения.

Начальные значения отклонения х _к = х _к0 называют возмущениями.

Решение системы уравнений (4.5) при некоторой заданной совокупности начальных условий называется возмущенным движением системы.

х _к = f_к (x₁₀ , …, x _n0, t). (4.7)

4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО А.М. ЛЯПУНОВУ

Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к переменным у_к, если при всяком заданном числе А, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число λ (А) так, что для всех возмущений х_к0, удовлетворяющее условию

возмущенное движение (4.7) будет удовлетворять неравенству

.
На рис. 4.2 показано геометрическое изображение условия устойчивости в пространстве трех переменных х₁,х₂, х₃. геометрическая трактовка условия устойчивости по Ляпунову: если при возмущениях, выведших точку В₀ (х₁₀, х₂₀, х₃₀) за границу сферы λ, возмущенное движение будет таково, что точка не выйдет за границу сферы А, то оно устойчиво.

Если с течением времени возмущенное движение стремится к началу координат, то система асимптотически устойчива. При том

Рис. 4.2

Определение устойчивости по Ляпунову относится к движению, а не к системе. САУ может быть устойчива по отношение к одному движению и неустойчива по отношению к другому. Например, система регулирования скорости вала машины, устойчивая к изменению скорости, будет неустойчивойк изменению угла поворота. Но для краткости в дальнейшем будем говорить об устойчивых и неустойчивых САУ. Под устойчивостью САУ по существу подразумевается устойчивость процесса регулирования, т.е. устойчивость равновесия, или в более общем случае устойчивость частного решения дифференциального уравнения.

На практике при исследовании устойчивости реальных САУ часто пользуются линейными уравнениями, полученными в результате линеаризации, т.е. в результате отбрасывания членов, содержащих вторые и высшие степени, а также произведения отклонений переменных и их производных. В связи с этим возникают вопросы о возможности определения устойчивости реальных систем по их линеаризованным уравнениям.

Приведем интерпретацию теорем Ляпунова для линейных систем.

1. Линейная система устойчива, причем асимптотически, если все корни ее характеристического уравнения имеет отрицательные ве­щественные части.

2. Линейная система неустойчива, если среди корней ее характеристического уравнения есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью.

3. Линейная система не асимптотически устойчива, если среди корней ее характеристического уравнения один нулевой, а у осталь­ных отрицательные вещественные части.

С точки зрения дифференциальных уравнений в устойчивой линей­ной системе собственные колебания с течением времени затухают и полное движение стремится к вынужденному, т.е. решение дифферен­циального уравнения, определяющее возмущенное уравнение системы, стремится к частному решению. Это будет только в том случае, если корни р_k характеристического уравнения Д(р)= 0 будут иметь отрицательные вещественные части, т.е.

р_k= – d_k ± iw_k. (4.8)

Наличие одного нулевого корня в характеристическом уравнении приводит к тому, что с течением времени собственное движение стремится не к нулю, а к некоторой постоянной величине, зависящей от начальных условий.

Математическая формулировка условий, которым должны удовлетво­рять коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы, или другие формы выражения условий устойчивости, называется критери­ями устойчивости.

На практике применяет в основном алгебраические и частотные критерии устойчивости, в том числе критерии Рауса, Гурвица, Вышнеградского, Михайлова, Найквиста и др.

Все эти критерии позволяют исследовать устойчивость линейных замкнутых систем регулирования, не прибегая к решению уравнений и к определению корней характеристического уравнения.

3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Алгебраический критерий Гурвица позволяет судить об устойчи­вости линейной системы по коэффициентам характеристического уравне­ния замкнутой системы

Д (р)= а_nрⁿ+ а_n-1 р^n-1+…+ а₁ р+ а₀=0 (4.9)

Нетрудно показать, что левым корням характеристического урав­нения (4.9) соответствуют положительные коэффициенты, а_n, а_n-1,..., а₁, а₀. Для этого уравнение (4.9) можно представить в виде произ­ведения простых сомножителей

Д (р)= а_n(р – р₁)(р – р₂)…(р – р_n)=0, (4.10)

подставить в него корни

р_k= – d_k ± iw_k (4.11)

и, раскрыв скобки, привести его к виду (4.9).

Таким образом, необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Однако это условие не является достаточным. Критерий Гурвица позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие устойчивости.

Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо и доста­точно, чтобы старший определитель Гурвица и все его диа­гональные миноры были бы положительные.

Правило образования определителя Гурвица сводится к следующему. В верхней строке записываются по порядку коэффициенты с нечетными ин­дексами, начиная с а_n-1.. Всего заполняется n элементов строки, вза­мен недостающих коэффициентов ставятся нули. Вниз от элементов i -ой строки столбцы определителя заполняются коэффициентами с индекса­ми, возрастающими каждый раз на единицу.

Старший определитель Гурвица, составленный по этому правилу на основании уравнения (4.9), имеет вид

.

Для обеспечения устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(4.12)

Подучим условия устойчивости по критерию Гурвица для неко­торых частных случаев.

1. Система 1-го порядка. Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

Д (р)= а₁ р + а₀=0.

Условия устойчивости (4.12) сводятся к выполнению следующих неравенств: .

2. Система 2-го порядка. Старший определитель Гурвица, составленный по характерис­тическому уравнению

Д (р)=а₂р²+ а₁ р+ а₀=0,

принимает вид

. (4.13)

Условия устойчивости (4.12) сводятся к выполнению следующих неравенств:

т.е. система будет устойчива, если

а₂>0; а₁>0; а₀>0.

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчи­вости систем 1-го и 2-го порядков является положительность коэффициентов их характеристических уравнений.

3. Система 3-го порядка. Старший определитель Гурвица, составленный по характеристи­ческому уравнению

Д (р)=а₃р³+ а₂ р² + а₁ р+ а_0,

принимает вид

,

где

. (4.14)

Условие устойчивости (4.12) в этом случаев сводится к выпол­нению следующих неравенств:

Таким образом, кроме положительности коэффициентов а₃>0; а₂>0; а₁>0; а₀>0

для обеспечения устойчивости системы 3-го порядка необходимо выполнение следующего дополнительного условия:

а₂а₁– а₀а₃ > 0. (4.15)

Для уравнений более высоких степеней пользоваться критерием Гурвица нецелесообразно, так как процесс раскрытия определи­телей высокого порядка становится неоправданно трудоемким, а до­полнительные условия устойчивости получаются громоздкими. При не­однократных попытках предложить более простые методы раскрытия определителей авторы приходили к алгоритму Рауса или очень близкому к нему алгоритму.

ЛЕКЦИЯ 10

План лекции:

1. Критерий Михайлова.

2. Критерий Найквиста.

3. Рекомендуемая литература [1, 4, 8].

4.4. КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА

Критерий Михайлова относится к графическим критериям. Он поз­воляет судить об устойчивости САУ любого порядка по годографу характеристического многочлена

Д(р)=а_nрⁿ+…+а₁р+а₀=а_n(р-р₁)(р-р₂)…(р-р_n), (4.16)

который при p=iw можно представить в виде

. (4.17)

Каждый сомножитель (iw - р_k) многочлена Д(iw) можно представить на плоскости комплексного переменного в виде вектора.

Из рис. 4.3. видно, что если корни р_k имеет отрицательные вещественные части p_k=-d_k± iw_k, т.е. векторы р_k расположены сле­ва от мнимой оси комплексной плоскости, то при изменении частоты w = -¥ ¸ ¥ каждый из векторов опишет угол против часовой стрелки (в положительном направлении), равный 180⁰. Следовательно, вектор характеристического уравнения

в этом случае опишет угол (180 n)°. Это и есть критерий устойчивос­ти Михайлова.

Чтобы воспользоваться этим критерием, годограф характеристического уравнения, который описывает вектор Д(iw), целесообразно строить в координатах V(w) и U(w):

.

Учитывая симметричность годографа относительно действительной оси (функция U(w) – четная), можно ограничиться построением лишь одной его половины, например, при изменении w от 0 до ¥. Условие устойчивости в этом случае можно сформулировать следующим обра­зом: чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, что­бы вектор характеристического уравнения Д(iw) при изменении w от 0 до ¥ повернулся в положительном направлении на угол (90 n)° (рис. 4.4).

При w=0 нечетная функция V(w)=0, а U(w)=а₀, причем а₀>0. Учитывая это, критерий Михайлова можно сформулировать сле­дующим образом.

Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического уравнения Д(iw), начинаясь при w=0 на положительной полуоси U(w), при возрастании частоты от 0 до ¥ прошел последовательно в положительном направлении n квадрантов координатной плоскости.

Рис. 4.4

На рис.4.5 показаны кривые Михайлова (годографы вектора Д(iw)) для устойчивых систем от 1-го до 5-го порядка.

Рис. 4.5

На рис. 4.6 показаны кривые Михайлова неустойчивых систем: а) а₀<0;

б) вектор Д(iw) поворачивается по часовой стрелке; в) порядок уравне­ния n =5, а кривая Михайлова находится в одном квадранте; г) нарушается последовательность прохождения квадрантов; д) система нахо­дится на границе устойчивости, т.к. кривая Михайлова проходит через начало координат; е) система неустойчива, т.к. кривая Михайлова проходит через начало координат и не последовательно пересекает квадранты.

Рис. 4. 6

Рассмотрим одно из следствий критерия Михайлова-условие перемежаемости корней действительной U(w) и мнимой V(w) частей функции Д(iw).

При последовательном прохождении кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости действительная U(w) и мнимая V(w) оси пересекаются поочередно. Отсюда следует, что действительная и мни­мая функции при возрастании w обращаются в нуль поочередно, т.е. корни их вещественны и перемежаются.

На рис. 4.7 а приведен пример графиков для устойчивой системы (кривые U и V пересекают ось w поочередно); на рис. 4.7 б для неустойчивой системы (очередность пересечения кривыми U и V оси w нарушена).

Условие перемежаемости корней показывает, что для суждения об устойчивости системы не обязательно точно вычерчивать всю кривую, достаточно определить ее ход лишь вблизи точек пересечения с коор­динатными осями.

а б

4.5. КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА

Частотный критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы W(iw), которая строится в координатах действительной и мнимой частей АФЧХ (рис.4.8).

Чтобы определить условие устойчивости по критерию Найквиста, необходимо найти связь между функциями W(iw) и Д(iw). Для этого рассмотрим функцию

, (4.18)

представляющую собой знаменатель передаточных функций замкнутой сис­темы.

Передаточную функцию разомкнутой системы W(р) можно предста­вить в виде отношения двух многочленов

, (4.19)

где Т(р) часто называют характеристическим многочленом разомк­нутой системы. С учетом (4.19) выражение (4.18) можно представить в следующем виде:

, (4.20)

где Д(р)=Т(р)+R(р) - характеристический многочлен замкну­той системы, причем порядок многочлена Д(р) определяется по­рядком многочлена Т(р) и равен n.

Заменяя р на iw, будем иметь

, (4.21)

. (4.22)

Анализ (4.21) показывает, что вектор W^*(iw) смещен на единицу по отношению к вектору W (iw). Причем, они описывают один и гот же годограф – АФЧХ разомкнутой системы W(iw) (рис. 4.9). Эго позволяет условие устойчивости связать как с поведением вектора W(iw), так и вектора W^*(iw).

Рис. 4.8 Рис. 4.9

На основании (4.22) можно записать

arg W^*(iw)= arg Д (iw)-arg Т (iw). (4.23)

При изменении частоты w от - ¥ до + ¥ для обеспечения устойчивости системы в соответствии с критерием Михайлова

arg Д (iw)=180^о×n. (4.24)

Следует иметь в виду, что устойчивая замкнутая система мо­жет оказаться неустойчивой в разомкнутом состоянии, поэтому ха­рактеристическое уравнение разомкнутой системы Т(р)=0 может иметь корни с положительными действительными частями (правые корни). Положим, что уравнение Т (р)=0 имеет r правых корней и (n-r) левых, тогда в соответствии c рис. 4.4. вектор Т (iw) при изменении частоты от - ¥ до + ¥ опишет угол в положительном направлении 180^о(n-r) и в отрицательном -180^or, т.е.

arg Т (iw)=180^о(n-r)-180^or=180^оn-360^or. (4.25)

С учетом (4.24) и (4.25) уравнение (4.23) принимает вид

arg W^*(iw)=180^оn-180^оn+360^or=360^or. (4.26)

Учитывая симметричность АФЧХ относительно действительной оси (U_p(w) –функция четная), условие (4.26) можно переписать в виде

. (4.27)

Отсюда вытекает формулировка критерия Найквиста.

Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходи­мо и достаточно, чтобы при изменении частоты w от 0 до ¥ вектор W^*(iw) повернулся в положительном направлении на угол 180⁰r, где r - число правых корней характеристического многочлена ра­зомкнутой системы, т.е. чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(iw) охватила точку (-1, 0×i) в положительном направлении r/2 раз.

Если разомкнутая система устойчивая, то r=0 и условие (4.27) принимает вид

, (4.28)

т.е. суммарный угол поворота вектора W^*(iw) вокруг начала коор­динат должен равняться нулю. Это будет в том случае, когда АФЧХ не охватывает точку (-1, 0×i) т.е. пересекает действительную ось в диапазоне (0¸ -1).

Условие устойчивости в этом случае можно сформулировать сле­дующим образом. Для того чтобы замкнутая система была устойчива в случае устойчивой разомкнутой системы, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой сис­темы не охватывала точку (-1, 0×i), т.е. пересекала бы действительную ось правее этой точки (рис. 4.10 а).

Если АФЧХ пересечет действительную ось в точке (-1, 0×i), то соответствующая ей система будет находиться на границе устойчивос­ти (рис.4.10 в). Случай показанный на рис. 4.10 г, соответствует неустой­чивой системе.

Для систем высокого порядка могут возникнуть затруднения при определении угла, на который поворачивается вектор W^*(iw). В этом случае для суждения об устойчивости, можно рекомендовать сле­дующую интерпретацию критерия Найквиста, предложенную Я.З. Цыпкиным.

а б

в г

Рис. 4. 10

Система будет устойчивой, если разность между числом положи­тельных и отрицательных переходов АФЧХ W(iw) через отрезок дей­ствительной оси (-¥¸ -1) при изменении w от 0 до ¥ будет равна r, где r - число правых корней характеристического уравне­ния разомкнутой системы.

При этом переход АФЧХ через действительную ось сверху вниз считается положительным, снизу вверх - отрицательным.

Разность положительных и отрицательных переходов АФЧХ действи­тельной оси U_p в диапазоне (-¥¸ -1) (рис.4.10 б) равна нулю, следовательно, замкнутая система, соответствующая этому случаю, будет устойчива.

Для астатических систем характеристический многочлен разомк­нутой системы Т(р) имеет нулевые корни Т (р)=рⁿ×Т^*(р), т.е. передаточная функция разомкнутой системы в этом случае принимает вид

, (4.29)

где n - порядок астатизма.

Заменяя в выражении (4.29) р на iw, получим

(4.30)

Анализ (4.30) показывает, что при w=0 АФЧХ разомкнутой системы W(iw) терпит разрыв. Чтобы избежать неопределенности в точке раз­рыва при построении АФЧХ разомкнутой системы, условились обхо­дить начало координат в плоскости комплексного переменного справа по дуге бесконечно малого радиуса r (рис.4.11).

Рис 4.11 Рис. 4.12

Из выражения (4.30) следует, что при изменении частоты w в окрестности нуля (w=-Dw ¸ +Dw) АФЧХ разомкнутой астатической системы можно представить в виде дуги, которую описывает бес­конечно большой радиус R_¥. При этом в диапазоне w = +Dw ¸ +¥ АФЧХ разомкнутой астатической системы строится обычным методом, а затем дополняется дугой, которую должен описать радиус, вра­щаясь по часовой стрелке на угол (90ν)°.

Определение устойчивости по АФЧХ разомкнутой астатической системы, дополненной дугой бесконечно большого радиуса, ведется точно так же, как и для статических систем.

На рис. 4.12. показана АФЧХ устойчивой системы при наличии астатизма второго порядка.

Рассмотренные особенности применения критерия Найквиста для астатических систем можно распространить и на случай, когда харак­теристическое уравнение разомкнутой системы имеет чисто мнимые корни ± iw₁. В отличие от предыдущего случая наличие в уравне­нии Т(р)=0 мнимых корней связано с разрывом W(iw) при w =± iw₁.

ЛЕКЦИЯ 11

План лекции:

1. Определение устойчивости по ЛАФЧХ.

2. Д - разбиение в плоскости комплексного параметра.

4. Рекомендуемая литература [1, 3, 8].

4.6. СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛАФЧХ

РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

По построенным логарифмическим амплитудным и фазовым характеристикам разомкнутой системы также можно судить об устойчивости замкнутой системы. Для этого надо установить соответствие между некоторыми свойствами ЛАЧХ и амплитудно-фазовой характеристики. Рассмотрим только системы, устойчивые в разомкнутом состоянии.

Как установлено выше, "опасным" для устойчивости САУ является отрезок отрицательной вещественной полуоси от –¥ до – 1.

Когда амплитудно-фазовая характеристика пересекает отрица­тельную вещественную полуось, логарифмическая фазовая характерис­тика пересекает одну из линий –p, -3p и т.д. Переходы через эти линии не опасны, если они совершаются справа от точки (– 1, i×0), т.е. если модуль и, следовательно, если ординаты ЛАЧХ , т.е. отрицательны при j = – p.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (–¥, – 1 ) характеристик соответствует переход фазовой характеристи­ки через одну из линий –p, -3p,... снизу вверх (тоже по­ложительный переход). Отрицательному переходу также соответствует отрицательный переход ЛФЧХ. Отсюда вытекает следующее положение: если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы во всех областях положительных ЛАЧХ разность между числом поло­жительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии –p, -3p,... равнялась нулю.

Очевидно, если разомкнутая САУ неустойчива и ее характе­ристическое уравнение имеет r правых корней, то для устойчи­вости замкнутой САУ разность между положительными и отрица­тельными переходами ЛФЧХ через (–180)° на тех частотах, на которых ЛАЧХ положительна, должна равняться r / 2.

На рис. 4.13 показаны примеры АФЧХ и соответствующие им ЛАФЧХ разомкнутой системы. При этом предполагается, что разомкнутая система устойчива. Исследование проводится в области положительных ординат ЛАЧХ. Пересечение АФЧХ с кругом единичного ра­диуса соответствует пересечение ЛАЧХ с осью частот.

На рис. 4.13 а,в показаны характеристики систем, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис. 4.13 б,г - характеристики неустой­чивых систем.

На рис. 4.14 а показаны запасы устойчивости по амплитуде и по фазе . Запас устойчивости по амплитуде определяется зна­чением ЛАЧХ на частоте пересечения ЛФЧХ прямой, проходящей через (-180)°. Запас устойчивости по фазе определяется как пре­вышение ЛФЧХ над прямой (-180)° на частоте среза. Частотой сре­за называют частоту, на которой ЛАЧХ пересекает ось частот, т.е. (на частоте среза САУ не искажает входной сиг­нал по амплитуде).

Если запасы устойчивости и равны нулю, то система находится на границе устойчивости. Чем больше значения и , тем дальше от границы устойчивости находится система. Тем не ме­нее, стремиться к неограниченному увеличению и не сле­дует, так как увеличение запасов устойчивости обычно связано с уменьшением коэффициента передачи системы и, следовательно, с увеличением статических ошибок и ухудшением качества регулирования (в частности, с увеличением времени переходного процесса).

Рис. 4.13

Поэтому при проектировании САУ запасы устойчивости необходимо выбирать та­ким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости при случайном изменении параметров и режимов работ системы, и в то же время обеспечить требование к качеству и ошибкам регулиро­вания. Например, рекомендуют выбирать запасы устойчивости по амплитуде и по фазе .