2014-02-02
532
Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые
1. Дифференциальные уравнения вида 
, в которых функция 
не зависит от y, решаются с помощью подстановки 
.
Находим 
и подставляем в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение относительно p 
. Если удастся найти решение данного уравнения 
, то решение исходного уравнения найдется как интеграл 
.
Пример 7.17. Решить уравнение 
при 
.
Принимаем 
. Уравнение примет вид 
.
Разделим переменные 
.
Далее интегрируем уравнение 
.
.
Получаем общее решение 
.
Находим частное решение. Из уравнения находим 
.
; 
.
Из общего решения находим 
.
; 
.
Частное решение 
.
2. Дифференциальные уравнения вида 
, не содержащие в явном виде x, решаются с помощью замены 
. Производную 
в данном случае представим в виде
.
В результате замены уравнение приобретает вид 
. Если удается найти общее решение этого уравнения 
, то далее интегрируют уравнение 
. Данное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем 
, найдем общий интеграл
.
Пример 7.18. Решить уравнение 
.
Выполняем замену 
, получаем 
или 
. Разделяем переменные 
и интегрируем 
.
Так как 
, далее необходимо решить уравнение 
.
Находим 
.
В зависимости от начальных условий 
может принять либо положительное, либо отрицательное значение.
Если 
, то 
, и общий интеграл уравнения имеет вид 
.
Если 
, то 
и
общий интеграл имеет вид 
.
7.12. Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка. Свойства их решений
В общем случае данные уравнения имеют вид
,
где 
- непрерывные функции.
Обозначим левую часть дифференциального уравнения, линейную относительно y и ее производных через 
, т. е.
.
Тогда уравнение можно записать в виде 
. Этому неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение 
.
Свойство 1. Если 
и 
являются решениями однородного уравнения , то их сумма 
также является решением этого уравнения. Действительно, в силу линейности функции 
.
Свойство 2. Если 
является решением уравнения , то 
, где 
, также является решением этого уравнения.
Действительно, 
.
Свойство 3. Если 
являются решениями уравнения , то 
, где 
- постоянные также является решением этого уравнения.
В силу линейности уравнения имеем
.
Свойство 4. Если 
являются решениями однородного уравнения , а 
решением неоднородного уравнения 
, то 
также является решением неоднородного уравнения.
Действительно,
.
