дифференциального уравнения n -ого порядка
Линейному неоднородному дифференциальному уравнению n -ого порядка
соответствует однородное дифференциальное уравнение
.
Пусть линейно независимые функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения .
Покажем, что , где - произвольно заданные постоянные, является общим решением этого уравнения. Для этого необходимо убедиться в том, что при любых начальных условиях можно выбрать произвольные постоянные так, чтобы функция была частным решением дифференциального уравнения с этими начальными условиями.
Пусть начальные условия имеют вид
.
Составим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных .
Эта система является системой линейных алгебраических уравнений.
Определитель данной системы представляет собой определитель Вронского
.
Этот определитель отличен от нуля, так как функции линейно независимые. Решение системы (набор значений произвольных постоянных ) можно получить с помощью формул Крамера. Система имеет единственное решение.
|
|
Следовательно, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка можно найти как линейную комбинацию n линейно независимых его частных решений.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 7.4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения, т. е.
,
где - линейно независимые решения однородного уравнения ,
- частное решение неоднородного уравнения .