Структура общего решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения n -ого порядка

Линейному неоднородному дифференциальному уравнению n -ого порядка

соответствует однородное дифференциальное уравнение

.

Пусть линейно независимые функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения .

Покажем, что , где - произвольно заданные постоянные, является общим решением этого уравнения. Для этого необходимо убедиться в том, что при любых начальных условиях можно выбрать произвольные постоянные так, чтобы функция была частным решением дифференциального уравнения с этими начальными условиями.

Пусть начальные условия имеют вид

.

Составим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных .

Эта система является системой линейных алгебраических уравнений.

Определитель данной системы представляет собой определитель Вронского

.

Этот определитель отличен от нуля, так как функции линейно независимые. Решение системы (набор значений произвольных постоянных ) можно получить с помощью формул Крамера. Система имеет единственное решение.

Следовательно, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка можно найти как линейную комбинацию n линейно независимых его частных решений.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 7.4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения этого неоднородного уравнения, т. е.

,

где - линейно независимые решения однородного уравнения ,

- частное решение неоднородного уравнения .