2014-02-02
12578
Применение рядов позволяет с заданной точностью вычислять значение функций, определенных интегралов, находить частные решения дифференциальных уравнений и т. п. Основной трудностью при этом является оценка точности вычислений. Данную трудность преодолевают с помощью оценки остаточного члена ряда.
Если остаточный член ряда представлен с помощью функции 
, то необходимо найти 
- количество членов ряда, учитываемых при расчете, при котором остаточный член не превзойдет требуемой точности вычисления e, т. е. 
.
Если остаточный член представлен в виде знакочередующегося ряда 
, то оценка погрешности вычисления является наиболее простой. В этом случае применяют терему Лейбница, согласно которой сумма ряда (остатка ряда) по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена ряда.
Если же остаточный член представляет знакопостоянный ряд 
, то для его оценки необходимо составить так называемый можарирующий ряд. Данный ряд обычно является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, сумма которой легко находится.
Пример 9.6. Вычислить значение числа е с точностью 
.
Используем разложение показательной функции 
в ряд Маклорена
, где 
, 
.
Область сходимости 
.
При 
имеем 
.
Число n членов ряда, которые необходимо учесть, чтобы остаток ряда не превосходил заданной точности расчета , найдем из неравенства
.
Будем считать известным, что 
. Тогда условие для нахождения числа n примет вид 
. В ниже следующей таблице приведены оценки остаточного члена ряда 
при различных значениях
| Число n, учитываемых членов ряда | ||||||
Оценка остаточного члена ряда  |  |  |  |  |  |  < |
Как видно из таблицы, при 
остаточный член ряда 
. Следовательно, для того, чтобы вычислить число е с погрешности не превосходящей , нужно учесть шесть членов в разложении. При вычислениях учитываем на один десятичный знак больше, чем . В окончательном результате этот последний десятичный знак отбрасываем.
Получаем
.
Окончательно принимаем 
.
Для сравнения более точное значение 
.
Пример 9.7. Вычислить значение функции 
при с точностью 
.
Используем разложение в ряд Маклорена
.
Область сходимости этого ряда 
.
При имеем
.
Данный ряд и любой его остаток является знакочередующимся. Любой остаток ряда не превзойдет по абсолютной величине первого члена ряда. Это значит, что для вычисления значения 
с точностью можно отбросить все члены, начиная с 
, который меньше 0,0001.
Вычисляем
.
Округляем с точностью до , получаем 
.
Для сравнения, более точное значение 
.
Пример 9.8. Вычислить значение корня 
с точностью .
Используем разложение в ряд Маклорена функции
.
Интервал сходимости этого ряда 
.
Если представить в виде 
, то вычисление с помощью этого ряда приведет к неверному результату, так как значение 
находится вне области сходимости ряда.
Если представить искомый корень в виде 
, так что 
, то при разложении в ряд получится знакопостоянный (знакоотрицательный) ряд
.
В этом случае оценка погрешности вычислений приведет к некоторым затруднениям (составление так называемого можарирующего ряда). Лучше избежать этого и представить в виде 
. Тогда 
и получится знакочередующийся ряд. Оценка погрешности в этом случае достаточно простая, с помощью теоремы Лейбница.
Вычисляем
.
Седьмой член в разложении, равный примерно 
, меньше . Его и все последующие члены можно отбросить; при этом погрешность вычисления не превзойдет заданной точности. Округляем результат до 0,0001, получаем 
.
Для сравнения более точное значение 
.
Пример 9.9. Вычислить 
, где N некоторое положительное число.
Для этого используют разложение функции 
в ряд Маклорена
.
Интервалом сходимости данного ряда является 
.
Для того, чтобы вычислить значение 
при 
производят следующее преобразование. Находят разложение в ряд Маклорена для функции 
.
Учитывая, что 
, найдем разность двух рядов
,
.
Получаем
.
Областью сходимости данного ряда также является интервал .
Чтобы вычислить , приравняем 
и найдем отсюда х, 
Þ 
. При любом значении 
данное значение х всегда меньше единице и, следовательно, для вычисления значения можно применять полученное разложение. Рассмотрим конкретный пример.
Пример 9.10. Вычислить 
с заданной точностью .
При 
находим 
.
Записываем
.
Чтобы вычислить с заданной точностью, необходимо оценить остаток ряда, который является знакоположительным рядом.
.
Составим можарирующий ряд, члены которого больше соответствующих членов этого остатка ряда.
Вынесем за скобки первый член остатка ряда
.
Очевидно 
, 
, поэтому заменим эти дроби единицей (усилим неравенство), имеем
.
Найдем сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, получим
.
Найдем n, при котором 
.
Имеем 
Þ
.
При 
.
Таким образом, для достижения требуемой точности нужно принять 
.
Вычисляем
.
Более точное значение, полученное с помощью калькулятора, 
.
Пример 9.11. Вычислить интеграл 
с точностью .
Данный интеграл относится к числу неберущихся и называется интегральным синусом.
Разложим в ряд 
и проинтегрируем, получим
.
Здесь для оценки погрешности использовали теорему Лейбница.
Пример 9.12. Найти частное решение дифференциального уравнения 
при 
.
Ищем решение в виде ряда
.
При 
отсюда имеем 
.
Продифференцируем ряд почленно
и подставим 
и 
в дифференциальное уравнение
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого равенства, получим:
Далее, очевидно, можно аналогично получить 
.
Записываем частное решение дифференциального уравнения
.
Решим данное уравнение 
аналитическим методом. Запишем уравнение в виде 
. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения 
. Характеристическое уравнение этого уравнения 
имеет один корень 
. Общее решение однородного уравнения имеет вид 
. Частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде 
. Подставляем его в уравнение, получаем
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
. Частное решение 
. Общее решение исходного уравнения имеет вид 
. Используем начальные условия для нахождения произвольной постоянной С 
. Таким образом частное решение имеет тот же вид 
, что и при использовании разложения решения в степенной ряд Маклорена.
