double arrow

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций


1. y = ex.

Имеем f(x) = f'(x) = f''(x) =…= f(n)(x) = ex;

f(0) = f'(0) = f''(0) =…= f(n)(0) = e0 = 1.

По формуле

ex = 1 + х + .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

2. y = sin x.

Имеем f(x) = sin x, f'(x) = cos x, f''(x) = -sin x; f'''(x) = -cos x, f(4)(x) = sin x,

откуда f(0) = 0; f'(0) = 1; f''(0) = 0; f'''(0) = -1, f(4)(0) = 0 и т.д.

Очевидно, что производные чётного порядка f(2n)(0) = 0, а нечётного порядка f(2n-1)(0) = (-1)n-1, i = 1, 2… . По формуле

sin x = x - .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

3. y = cos x.

Рассматривая аналогично, получим

сos x = 1 - .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

4. y = (1+x)m, где m - любое действительное число.

Имеем f(x) = (1+x)m, f'(x) = m(1+x)m-1, f''(x) = m(m-1) (1+x)m-2, f'''(x) = m(m-1) (m-2) (1+x)m-3, …. , f(n)(x) = m(m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n.

При x = 0 f(0) = 1, f'(0) = m, f''(0) = m(m-1), f'''(0) = m(m-1) (m-2),…, f(n)(0) = m(m-1)…(m-n+1).

По формуле

(1+x)m = 1 + mx + .

Интервала сходимости ряда (-1; 1).

Ряд называется биномиальным. Если m - целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n = m+1 m-n+1 = 0, n-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5. y = ln(1+x).

Рассмотрим геометрический ряд

= 1 - x + x2 - x3 +…+(-1)n xn +…

со знаменателем q = -х, который сходится при | q | = | -x |<1, т.е. при -1 < х < 1, к функции




.

Интегрируя почленно равенство в интервале (0; х), где | x |<1, с учётом того, что

, получим

In (1+x) = x - .

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть .

С.Р.1.Свойства степенных рядов.

2. Формула Тейлора.

3. Применение степенных рядов.







Сейчас читают про: