double arrow

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1. y = ex.

Имеем f(x) = f'(x) = f''(x) =…= f(n)(x) = ex;

f (0) = f' (0) = f'' (0) =…= f(n) (0) = e 0 = 1.

По формуле

ex = 1 + х + .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

2. y = sin x.

Имеем f(x) = sin x, f'(x) = cos x, f''(x) = -sin x; f'''(x) = -cos x, f(4)(x) = sin x,

откуда f (0) = 0; f' (0) = 1; f'' (0) = 0; f''' (0) = -1, f(4)( 0) = 0 и т.д.

Очевидно, что производные чётного порядка f(2n) (0) = 0, а нечётного порядка f(2n-1) (0) = (-1) n -1, i = 1, 2…. По формуле

sin x = x - .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

3. y = cos x.

Рассматривая аналогично, получим

сos x = 1 - .

Область сходимости ряда (-∞; ∞).

4. y = (1+ x) m, где m - любое действительное число.

Имеем f(x) = (1+ x) m, f'(x) = m (1+ x) m -1, f''(x) = m (m -1) (1+ x) m -2, f'''(x) = m (m -1) (m -2) (1+ x) m -3, …., f(n)(x) = m (m -1)…(m-n +1) (1+ x) m-n.

При x = 0 f (0) = 1, f' (0) = m, f'' (0) = m (m -1), f''' (0) = m (m -1) (m -2),…, f(n) (0) = m (m -1)…(m-n +1).

По формуле

(1+ x) m = 1 + mx + .

Интервала сходимости ряда (-1; 1).

Ряд называется биномиальным. Если m - целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n = m +1 m-n +1 = 0, n -й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5. y = ln(1+ x).

Рассмотрим геометрический ряд

= 1 - x + x2 - x3 +…+(-1) n xn +…

со знаменателем q = - х, который сходится при | q | = | - x |<1, т.е. при -1 < х < 1, к функции

.

Интегрируя почленно равенство в интервале (0; х), где | x |<1, с учётом того, что

, получим

In (1+ x) = x - .

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть .

С.Р. 1.Свойства степенных рядов.

2. Формула Тейлора.

3. Применение степенных рядов.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: