Решетчатая функция – функция, которую образуют ординаты непрерывной функции при дискретных равноотстоящих друг от друга значениях независимой переменной. Решетчатая функция существует только при дискретных значениях аргумента. То есть для описания импульсной системы с амплитудной модуляцией наилучшим образом подходит решетчатая функция. При этом непрерывный сигнал импульсным элементом преобразуется в последовательность импульсов , то есть в решетчатую функцию. Непрерывная функция является огибающей для решетчатой функции . Введем понятие единичного импульса , тогда последовательность неединичных импульсов может быть представлена в следующем виде:
(3.6)
Изображение Лапласа для i-того неединичного импульса имеет вид:
(3.7)
Так как для каждого фиксированного значения i величина , то ее можно вынести за знак интеграла. Согласно теореме запаздывания изображение смещенной -функции равно. Тогда выражение (7) можно переписать:
Тогда изображение по Лапласу всей последовательности импульсов равно:
|
|
(3.9)
Выражение (9) называется дискретным преобразованием Лапласа. Оно устанавливает соответствие между решетчатыми функциями и их изображениями. Введя новую перемену. , можно получить так называемое z-преобразование:
(3.10)
Таким образом, математически преобразование непрерывного сигнала в дискретный сигнал осуществляется следующим образом:
1. непрерывный сигнал заменяется последовательностью импульсов (решетчатая функция).
2. к решетчатой функции применяется z-преобразование
3. степенной ряд сворачивается в конечную сумму. Это конечная сумма и представляет собой дискретные преобразования Лапласа.
Пример
Получить Z- преобразование функции .
Рис. 3.11.
1. Решетчатая функция имеет вид
2.
3. Конечная сумма ряда:
Для большинства встречающихся в задачах решетчатых функций z-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным системам.
Простейшая таблица дискретных преобразований
x(t) | x(p) | x(z) |
d(t) | ||
d(t-iT) | ||
1(t) | 1/p | |
T | 1/p2 | |
T2 | 2!/p3 | |
Свойства z -преобразования аналогичны свойствам обычного преобразования. Приведем важнейшие из них.