Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

Закон распределения молекул газа по скоростям (закон Максвелла)

В основное уравнение кинетической теории идеального газа входит средняя квадратичная скорость. Смысл ее заключается в том, что это та скорость, которой должны были бы обладать все молекулы (если бы величины их скоростей были одинаковы, а направления равновероятны), чтобы давление газа было таким, каким оно в действительности является.

На самом деле скорости молекул неодинаковы. Благодаря беспорядочным движениям и взаимным столкновениям молекулы газа каким-то образом распределяются по скоростям. Среди них есть и очень быстрые и очень медленные. Теория и опыт показывают, что, несмотря на полную хаотичность движения и случайный характер столкновений, распределение молекул по скоростям оказывается не случайным, не произвольным, а вполне определенным, однозначным и единственно возможным.

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл в 1860 г. установил закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

, (2.2.16)

Рис.2.1	где- функция распределения(определяется долей частиц, скорости которых заключены в единичном интервале вблизи скорости ). В показателе экспоненты стоит отношение кинетической энергии молекулы (), к величине, характеризующей среднюю энергию молекул газа ().
Конкретный вид функции распределения зависит от рода газа (массы молекулы) и от его температуры . Давление и объем газа на распределение молекул по скоростям не влияют. Скорость, при которой функция распределения молекул газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью . Из закона распределения можно определить некоторые скорости, характерные для данного состояния газа (рис.2.2; табл.2.1).	Рис.2.2 Таблица 2.1.
Наиболее вероятная скорость	Средняя арифметическая скорость	Средняя квадратичная скорость

При появлении в объеме газа неоднородности какой-либо физической величины (плотности газа, температуры или скорости упорядоченного движения его отдельных слоев) возникают потоки вещества, энергии или импульса упорядоченного движения частиц, приводящие к выравниванию пространственного распределения этой физической величины и устранению неоднородности. При этом протекают особые явления, называемые явлениями переноса (они связаны с переносом какой-либо физической величины). К этим явлениям относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение.

2.4.1. Диффузия - явление самопроизвольного взаимного проникновения и перемешивания частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. В химически чистых газах диффузия возникает из-за неоднородности плотности в различных частях объема газа. В смеси газов диффузия вызывается различием в концентрациях отдельных газов в разных частях объема смеси. При постоянной температуре явление диффузии заключается в переносе массы газа из мест, где его концентрация больше в места, где она меньше.

Рис.2.3

В простейшем одномерном случае диффузиявозникает в химически однородном газе, концентрация n (или плотность ) которого изменяется вдоль одной координаты , т. е. (рис.2.3). Мысленно выделим в газе площадку , перпендикулярную оси . Молекулы газа проникают через эту площадку в обоих направлениях – слева направо и справа налево. Однако большее число молекул движется с той стороны, где их плотность больше. Поэтому можно говорить о массе газа, перенесенной в определенном направлении. Перенос вещества путем диффузии осуществляется только вдоль оси и описывается законом Фика, установленным экспериментально:

(2.2.17)

где – масса вещества, диффундирующего за время через площадку ; – плотность газа; – градиент (перепад) плотности вдоль оси ; – коэффициент диффузии.

Знак минус в формуле указывает на то, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности , т. е. вдоль положительного направления оси при и в обратном направлении при .

Из закона Фика следует, что коэффициент диффузии численно равен массе газа, продиффундировавшей за единицу времени через единичную площадку, расположенную нормально к потоку диффузии при градиенте плотности, равном единице.

Масса вещества, переносимая в единицу времени через единицу площади, т. е. плотность потока массы, равна = или . (2.2.18)

Закон диффузии, выведенный на основании молекулярно-кинетической теории газов, имеет вид: (2.2.19)

Сравнив его с законом Фика, получаем, что коэффициент диффузии, равный

, (2.2.20)

пропорционален средней длине свободного пробега молекул (среднему расстоянию, которое пробегают молекулы от одного столкновения до следующего) и средней арифметической скорости движения частиц .

Единица коэффициента диффузии –

2.4.2. Внутреннее трение (вязкость) возникает между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными по модулю скоростями.

Рассмотрим два слоя жидкости (1 и 2), движущихся параллельно друг другу со скоростями и , причем (рис.2.4). Благодаря хаотическому тепловому движению молекулы переходят из слоя в слой и «переносят» импульсы своего упорядоченного движения. При переходе молекул из слоя 1, движущегося быстрее, в слой 2, частицы переносят большие импульсы и соударения между молекулами приводят к ускорению упорядоченного движения слоя 2. При переходе из слоя 2, движущегося медленнее, в слой 1 перешедшие частицы ускоряют свое упорядоченное движение, а молекулы слоя 1 замедляются. В результате этих процессов переноса импульса молекул между слоями 1 и 2

Рис.2.4

возникают силы внутреннего трения, которые определяются законом Ньютона: , (2.2.21) где – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость); – градиент скорости (показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении, перпендикулярном направлению движения слоев);

– площадь трущихся слоев. Сила считается положительной, если она ускоряет слой и отрицательной, если тормозит.

Закон Ньютона можно записать и для импульса , переносимого частицами при переходах между слоями с различными скоростями направленного движения

. (2.2.22)

Знак минус указывает на то, что импульс переносится из быстро движущихся слоев в слои, движущиеся медленно. Коэффициент вязкости равен силе внутреннего трения, действующей на единицу поверхности слоя при градиенте скорости равном единице.

На основании кинетической теории можно показать, что сила внутреннего трения равна:

, (2.2.23)

где <> средняя скорость теплового движения молекул.

Из сравнения последней формулы с законом Ньютона, получаем, что коэффициент вязкости, равный , (2.2.24)

пропорционален средней длине свободного пробега молекул , средней арифметической скорости их движения и плотности газа .

Единица коэффициента вязкости – пуаз ().

2.4.3. Теплопроводность – явление переноса теплоты от слоев газа, обладающих более высокой температурой, и, следовательно, более высоким значением энергии, к слоям с более низкой температурой. Хаотическое тепловое движение молекул приводит к направленному переносу внутренней энергии газа. Молекулы, попавшие из нагретых частей объема газа в более холодные, отдают часть своей энергии окружающим частицам. И наоборот, частицы, движущиеся медленнее, попадая из холодных частей объема газа в более нагретые, увеличивают свою энергию за счет соударений с молекулами, имеющими большие скорости и энергии.

В простейшем одномерном случае явление теплопроводности возникает в газе, температура которого зависит только от одной координаты , т. е. . При этом перенос внутренней энергии газа путем теплообмена осуществляется только вдоль оси и описывается законом Фурье, установленным экспериментально:, (2.2.25)

где – количество теплоты, которое передается путем теплопроводности за время через площадку , расположенную перпендикулярно направлению переноса внутренней энергии; – градиент температуры; – коэффициент теплопроводности. Знак минус в формуле указывает на то, что перенос внутренней энергии происходит в направлении убывания температуры.

Коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, переносимой в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению теплового потока при градиенте температуры равном единице.

Количество теплоты, переносимое в единицу времени через единицу площади, т. е. плотность теплового потока , равна = или . (2.2.26)

Закон теплопроводности, выведенный с помощью молекулярно-кинетической теории, имеет вид: . (2.2.27)

Сравнивая последнюю формулу с законом Фурье, получаем, что коэффициент теплопроводности, равный , (2.2.28)

пропорционален средней арифметической скорости движения частиц, средней длине их свободного пробега молекул , плотности газа и удельной теплоемкости газа при постоянном объеме. определяет внутреннюю энергию вещества при данной температуре ().

В табл. 2.2 приведены уравнения явлений переноса и коэффициентов переноса.

Таблица 2.2

Явление переноса	Переносимая величина	Уравнение переноса	Коэффициент переноса
Диффузия	Масса	Закон Фика
Внутреннее трение (вязкость)	Импульс	Закон Ньютона
Теплопроводность	Теплота (внутр. энергия)	Закон Фурье =

Единица коэффициента теплопроводности - .

Внешнее сходство математических выражений всех трех явлений обусловлено одинаковостью механизма перемешивания молекул при их хаотическом движении и столкновениях друг с другом.

Коэффициенты переноса связаны следующими соотношениями:

(2.2.29)

III. Первое начало термодинамики

Термодинамика не вдается в рассмотрение микроскопической картины рассматриваемых явлений. Она опирается на два основных закона (начала), являющихся обобщением огромного количества данных.

Первое начало устанавливает количественные соотношения при превращениях энергии из одних видов в другие.