double arrow

Лекция 13. Частотные методы исследования устойчивости

Частотные методы исследования устойчивости.

Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней полинома Р(р)и годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. графиком комплексно-значной функции Р(jw)при изменении wот 0 до ¥.

Основным теоретическим результатом является критерий Михайлова.Этот критерий формулируется в виде условия на полином, а его следствия, например, критерий Найквиста, уже формулируются в виде требований к передаточным функциям, что имеет непосредственное применение.

· Необходимое и достаточное условие. Критерий Михайлова

(А.В.Михайлов, Москва 1938г.)

Годограф устойчивого полинома n – го порядка с положительными коэффициентами (ак>0), начинаясь на положительной вещественной полуоси, последовательно проходит n/2 квадрантов, поворачиваясь против часовой стрелки. Приращение аргумента Dj = np / 2 .

Нарушение любой части этого условия приводит к неустойчивости.

Это пример устойчивого годографа для полинома порядка 3.

Из критерия Михайлова вытекает простое правило перемежаемости (чередуемости) корней. В самом деле, из рисунка видно, что корни мнимой и вещественных частей при увеличении wсменяют друг друга в строгой последовательности, запишем это условие в явном виде:

;

Найдем корни отдельно вещественной и отдельно мнимой части и расположим их в порядке возрастания : - правило чередования корней.

Применим для полинома третьего порядка :

= ;

Корни : ; ;

: ; ; ;

Условие чередования даёт: т.е a1 a2 > a0 a3 ,это же вытекает для системы 3 порядка и из критерия Гурвица.

Отметим, что преимущество применения правила перемежаемости – более простые полиномы (только чётного и только нечётного порядка).

· Критерий устойчивости замкнутой системы - критерий Найквиста.

Позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы (всей САУ) по частотной характеристике разомкнутой системы.

Определение: разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи.

Wрс(p) = W(p) Wос(p)

АФЧХ разомкнутой САУ имеет вид: Wpc( j)

Критерий Найквиста связывает устойчивость замкнутой системы с поведением частотной характеристики и годографа разомкнутой системы. Доказывается с помощью двукратного применения критерия Михайлова:

Один раз - к разомкнутой системе (устойчивой или неустойчивой), другой раз - к замкнутой системе (только устойчивой ).

Если разомкнутая система устойчива, то имеем следующий критерий:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы “не охватывал” точку

( -1 ; j0 ).

годограф охватывает (-1,,j0) годограф не охватывает (-1,,j0)

Уточнение понятия ”охват точки” ( -1 ; j0 ) годографом Найквиста:

Так как понятие охвата является нечетко сформулированным, вводим абсолютно точное правило переходов:


Сейчас читают про: