Лекция №3. Поток вектора индукции, теорема Гаусса

Поток вектора индукции, теорема Гаусса.

Электростатическое поле в диэлектрике. Электростатическое поле на границе двух сред с различными физическими свойствами.

План лекции:

1. Поток вектора индукции, теорема Гаусса.

2. Поляризация диэлектрика. Диполь. Коэффициент поляризации. Вектор поляризации.

3. Граничные условия на границе металл – диэлектрик.

4. Граничные условия на границе диэлектрик – диэлектрик.

Краткое содержание лекции:

Если некоторую поверхность разбить на N элементарных площадок и поместить в электростатическое поле, то через каждую площадку будет проходить элементарный поток вектора индукции (рис.1):

где вектор нормальный к площадке и модулем равным величине площадки;

– вектор индукции в i -ой площадке.

Суммарный поток вектора через поверхность S будет равен:

При уменьшении площади элементарных площадок и увеличении их числа в пределе получаем формулу поток вектора индукции:

Если заряд q окружить поверхностью произвольной формы, то суммарный поток через замкнутую поверхность будет равен (теорема Гаусса):

(1)

Если внутри заряда нет, то

Если замкнутая поверхность охватывает несколько зарядов, то

здесь заряд; количество зарядов.

Диэлектрик представляет собой пространство, заполненное диполями, которые не могут свободно перемещаться, но могут ориентироваться. Диполь имеет момент равный (рис.2).

В некотором малом объёме ΔV при отсутствии внешнего электростатического поля сумма моментов диполей равна нулю. При наличии внешнего источника поля диполи ориентируются по полю, и их суммарный момент перестаёт быть равным нулю, а становится равным некоторому суммарному вектору

Если этот суммарный вектор отнести к объёму ΔV и последний устремить к нулю, то в результате получается вектор поляризации

Теперь индукция в диэлектрике будет равной:

Проделаем следующие операции с модулями векторов:

здесь k_П – коэффициент поляризованности вещества.

Обозначая, получаем:

(2)

где – относительная диэлектрическая проницаемость.

С учётом (2) теорему Гаусса можно записать так:

Если рассмотреть полосу диэлектрика в поле вектора , то можно сделать следующее заключение. Величина индукции в диэлектрике будет равной:

а напряжённость поля

здесь вектор напряжённости поляризации.

Поэтому напряжённость поля в диэлектрике будет меньшей, чем вне диэлектрика.

На границе металл – диэлектрик (металл – воздух) вектор напряжённости поля нормален к поверхности металла. Внутри металла вектор напряжённости электрического поля равен нулю, внутри металла электростатического поля нет. На поверхности металла распределён заряд плотностью здесь – нормальная составляющая вектора напряженности. Это можно показать с помощью теоремы Гаусса.

На границе двух сред с диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ выполняется равенство нормальных составляющих индукции, то есть:

(3)

и равенство касательных к поверхности раздела сред напряжённостей электростатического поля:

(4)

Если силовые линии поля в первой среде имеют с нормалью к поверхности раздела сред угол θ₁, а во второй θ₂, то линии на границе раздела преломляются с выполнением условия:

(5)

Для металла можно считать, что ε₁ = ∞, тогда из (5) следует, что

то есть силовые линии поля выходят из металла в воздух под углом 90⁰.

Металлическое тело имеет везде одинаковый потенциал.

При расчёте поля методом интегральных уравнений границу раздела диэлектрик–диэлектрик (воздух) замещают простым слоем зарядов с поверхностной плотностью σ. Найдём связь между вектором напряжённости внешнего поля и плотностью простого слоя зарядов. Поскольку _,то