Дифференцирование функций

Опр1. f: (a,b)→𝑅 наз дифференцированной в т.если её приращение в этой т. можно представить в виде (А=const действ переменного от ∆х) ∆f()=А∆х+

→0,∆х→0

f: (a,b)→𝑅 наз дифференцированной на (а,в) если она диф в каждой т этого мн-ва

Теор:Условия диф функций одного переменного

Для того,чтобы f: (a,b)→𝑅 наз диф в т.необх и достаточно чтоб она имела в этой т.конечную произв

Док-во:1)Необходимость

диф в т.это значит: ∆f()=А∆х+А=const,→0,∆х→0

∆f()=А+А==,т.е=,где →0,∆х→0│*∆х(груп слаг)

∆f()=

На осн т. о связе беск малых величин с пределами можно записать:=т.о приращение ф ∆у состоит из 2х слагаемых:линейного относительного ∆х,нелинейного

Опр.Дифференциалом ф-ции наз главная,линейная отн ∆х часть приращения ф-ции,равная произведению производной на приращение независимой переменной

Пр.Найти диф ф-ции у=х

dy=dx=)dxa)∆x ∆y=KN

Т.о дифференциал ф-ции есть приращение ординаты касательной,проведенной к гр ф в данной т,когда х получает приращение ∆х

С-ва дифференциала

dc=0; d(cu)=c du; d(u)=dud; d(u)=du+ud; d()=;;d(ctgx)=

Инвариантность формы дифференциала

Пусть х= у=f(

()(x))dt

dy=(x);