Конкретные виды интегралов по фигуре

1). Если фигура является отрезком , то интеграл называют определенным интегралом и обозначают . По определению

Здесь – координаты выбранных точек , – меры ячеек разбиения, т.е. длины частичных отрезков, – максимальный из .

2). Если фигура является дугой кривой , то интеграл по такой фигуре называют криволинейным интегралом 1-го рода и обозначают

. По определению

Рис.2

Здесь – меры ячеек, в данном случае длины частичных дуг ; – максимальный из (рис. 2).

3). Если фигура

является поверхностью

, то интеграл по такой фигуре называют поверхностным интегралом 1-го рода и обозначают

. По определению

Здесь – меры ячеек, в данном случае их площади; – максимальный из (рис. 3).

4). Если фигура является плоской областью то интеграл по такой фигуре называют двойным интегралом и обозначают . По определению

Здесь – меры ячеек, в данном случае их площади; – максимальный из (рис. 4).

5). Если фигура является телом , то интеграл по такой фигуре называют тройным интегралом и обозначают . По определению

Здесь – меры ячеек, в данном случае их объемы; – максимальный из (рис. 5).

Рассмотрим еще одну часто употребляемую форму записи двойного интеграла. Двойной интеграл – это интеграл по плоской области . Пусть эта область лежит в плоскости . Так как интеграл не зависит от способа разбиения фигуры на ячейки, то разобьем фигуру на ячейки прямыми, параллельными оси , с расстояниями между ними и прямыми, параллельными оси , с расстояниями между ними (рис. 5). Тогда площадь любой ячейки, кроме приграничной, равна . Поэтому и интеграл записывают в следующем виде: