Апериодическое звено второго порядка. Оно описывается тем же дифференциальным уравнением (3.7.), что и колебательное звено, но при условии Т0 > 2T

Оно описывается тем же дифференциальным уравнением (3.7.), что и колебательное звено, но при условии Т ₀ > 2 T. Корни характеристического уравнения становятся действительными, звено перестает быть колебательным и превращается в апериодическое.

Операторное уравнение

(T ² p ² + T ₀ p +1) Y (p) = kX (p).

Передаточная функция

.

При отсутствии изменения выходной величины (p = 0) K(p) = k, коэффициенту усиления.

Комплексная частотная характеристика

.

Действительная и мнимая частотные характеристики

,

.

Амплитуда

Последнее выражение показывает, что амплитудная частотная характеристика резко отличается от таковой для колебательного звена, рис. 3.8. При w = 0 значение амплитуды равно k. С увеличением

А(w)

k

0 w

Рис. 3.8. Амплитудная частотная характеристика

апериодического звена второго порядка.

частоты амплитуда уменьшается до нуля. То есть, это монотонная кривая.

Аналогично колебательному звену, фазовая частотная характеристика в интервале 0 £ w £ 1 / T рассчитывается по формуле

В интервале 1 / T < w < ¥ используется формула

Для апериодического звена асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика получается такой же, как на рис. 3.7.

Переходная функция получается решением уравнения (3.7) при условии x = 1,

и начальных условиях h = 0, dh / dt = 0 при t = 0.

Характеристическое уравнение

T ² p ² + T ₀ p +1 = 0

имеет действительные корни

.

Они действительные и отрицательные так как в силу условия апериодичности звена T ₀ > 2 T.

Переходная функция получается в виде:

.

При t = 0 h (t) = 0. С увеличением t кривая монотонно стремится к пределу h = k.

Апериодическое звено второго порядка можно назвать типовым условно, потому что такая же математическая модель реализуется двумя инерционными звеньями, соединенными последовательно, рис. 3.9.

Б

A

x (t) x ₁(t) y (t)

Рис. 3.9. Два последовательно соединенных

инерционных звена

Чтобы показать это достаточно, исходя из дифференциальных уравнений звеньев А и Б, получить дифференциальное уравнение (3.7.). Пусть уравнения звеньев имеют вид

Б

А

, .

Выделим из уравнения звена Б x ₁ , продифференцируем по t и заменим соответствующие величины в уравнении А. Это приводит к выражению

где x, y - входная и выходная величина системы из двух инерционных звеньев. Обозначая T ₁ T ₂ = T ², T ₁ + T ₂ = T ₀, k ₁ k ₂ = k, получаем уравнение (3.7):

.