Колебательное звено. Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии .

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания x и резонансной частотой ω ₀. Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7): x = Т ₀ / 2 Т, ω ₀ = 1 / Т. Если ввести x в уравнение (3.7), оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2 x Т + y = kx . (3.8)

Условие Т ₀² < 4 Т ² заменяется условием x² < 1.

Получим описание колебательного звена.

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T²p² + 2 x Tp + 1) Y(p) = kX(p),

из которого получается передаточная функция

Если выходная величина не изменяется (dy / dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: К (0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

Амплитудная частотная характеристика колебательного звена

У колебательного звена кривая A (w) имеет пик, вершина которого отвечает частоте w ₀ = 1/ T (рис. 3.5). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равна k / 2 x. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от w = 0 до w = 1/ T рассчитывается по формуле

arctg

(

)

При w = 0 j (w) = 0. Значению w ₀ = 1/ T соответствует запаздывание –90 °. С увеличением w запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле.

Характер кривых показан на рис. 3.6.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L (w) = 20 lg k – 10 lg [(1- T ² w ²)²+ 4 x² T ² w ² ].

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания x. В интервале 0,3 < x < 1 приемлемо асимптотическое представление. В области w < 1 L ₁ = 20lg k. В области w > 1 L ₂ = 20lg (k / T ²) – 40 lg w. Условие сопряжения прямых w ₀ = 1/ T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L ₂ c осью абсцисс при w =/ T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.7.

В случае x < 0,3 нужно пользоваться точной ЛАЧХ из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.

Переходная функция есть решение уравнения (3.8) при x = 1:

где w ₀ = 1 / T, .

Переходная функция описывает затухающие колебания. Колебания затухают тем медленнее, чем меньше x. При x = 0 колебания совершаются с постоянной амплитудой, т.е. становятся гармоническими. Звено, реализующее гармонические колебания называют консервативным.