double arrow

Колебательное звено.. Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии .

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания x и резонансной частотой ω0 . Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7): x = Т0 / 2Т , ω0 = 1 / Т . Если ввести x в уравнение (3.7) , оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2 x Т + y = kx. (3.8)

Условие Т02 < 4Т 2 заменяется условием x2 < 1 .

Получим описание колебательного звена.

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T2p2 + 2 x Tp + 1) Y(p) = kX(p) ,

из которого получается передаточная функция

.

Если выходная величина не изменяется (dy/dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: К(0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

.

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

,

.

Амплитудная частотная характеристика колебательного звена

.

У колебательного звена кривая A(w) имеет пик, вершина которого отвечает частоте w0 = 1/T (рис. 3.5). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равна k / 2 x. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от w = 0 до w = 1/T рассчитывается по формуле

.

=
-
-
-
arctg
T
T
j
w
p
w
w
(
)
ξ
При w = 0 j(w) = 0. Значению w0 = 1/T соответствует запаздывание –90 ° . С увеличением w запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле .

Характер кривых показан на рис. 3.6.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L(w) = 20 lg k – 10 lg [(1-T2w2)2 + 4 x2T2w2 ].

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания x . В интервале 0,3 < x < 1 приемлемо асимптотическое представление. В области w < 1 L1 = 20lgk. В области w > 1 L2 = 20lg (k/T2) – 40 lg w. Условие сопряжения прямых w0 = 1/T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L2 c осью абсцисс при w =/T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.7.

В случае x < 0,3 нужно пользоваться точной ЛАЧХ из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.

Переходная функция есть решение уравнения (3.8) при x = 1:

,

где w0 = 1 / T , .

Переходная функция описывает затухающие колебания. Колебания затухают тем медленнее, чем меньше x . При x = 0 колебания совершаются с постоянной амплитудой, т.е. становятся гармоническими. Звено, реализующее гармонические колебания называют консервативным.

Рис. 3.5. Зависимость амплитуды от частоты. 1 – x = 0,20,

2 – x = 0,5, 3 – x = 0,75

Рис. 3.6. Фазовая частотная характеристика колебательного звена.

1 – x = 0,2, 2 – x = 0,4, 3 – x= 0,8

Рис. 3.7. Асимптотическая ЛАЧХ в интервале 0,3 < x < 1.


Сейчас читают про: