Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Линейные ДУ.

Определение. ДУ вида т.е. линейное относ-но неизвестной ф-ции и ее производной наз-ся линейным.

Для реш-я такого типа ур-й рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли.

Рассмотрим однородное ДУ Это ур-е с разделяющимися переем-ми Решение ур-я Общее реш-е неоднородного линейного ДУ имеет такой же вид, но считается ф-ей т.е. Найдем производную и подставим в исходное ур-е и Общее реш-е линейного ДУ 1-го порядка имеет вид

Метод Бернулли (метод замены переменной).

Представим неизвестную ф-ю как произвед-е 2-х ф-й Подставим в исходное ур-е и Получим или Потребуем, чтобы ф-я была такой, что выражение тождественно равнялось 0. Тогда исходное ур-е сводится к 2-м ур-ям с разделяющ-ся переем-ми и Решим их последов-но.

1)

2)

Уравнение Бернулли.

Пример. 1) Метод Лагранжа:

2) Метод Бернули: