Линейные однородные системы

Системы линейных дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид

(7)

Мы предполагаем, что коэффициенты непрерывны на интервале .

Пусть частным решением системы (7) является система функций , так что при подстановке в уравнения (7) эти функции обращают их в тождества. В таком случае система функций также является решением системы (7). Далее, если и — два частных решения, то также является решением системы (7). Как следствие, можно заключить, что линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами решений однородной линейной системы является решением той же системы.

Пусть мы имеем частных решений

(8)

Назовем систему решений (8) фундаментальной, если определитель

(8.1)

не равен тождественно нулю на интервале . Фактически, определитель представляет собой определитель Вронского. Фундаментальные системы существуют: достаточно взять чисел таких, чтобы их определитель был не равен нулю. Затем определим частных решений , принимающих при начальные значения . Здесь — некоторая точка интервала . Тогда, в силу непрерывности функций , определитель будет отличен от нуля также в некотором интервале, окружающем точку . Мы можем доказать больше.

Теорема. Если , то не обращается в 0 ни в какой точке интервала .

Для доказательства вычислим производную . Дифференцируем по столбцам:

Заменив в каждом определителе в правой части производные их выражениям из уравнений (7), мы получим, например, для первого слагаемого:

так как все определители, кроме первого, имеют два равных столбца. Аналогично, второе слагаемое дает , …, -е слагаемое дает . Итак, имеем , или , откуда . Следовательно, если , то на всем интервале, где коэффициенты (а следовательно, и решения) непрерывны, т.е. на интервале .

Теорема. Если образуют фундаментальную систему частных решений системы (7), то общее решение будет выглядеть так:

(9)

Мы видим, что формулы (9) представляют собой решение системы. Чтобы доказать, что это решение общее, нужно показать, что постоянные можно определить так, что функции будут при удовлетворять начальным условиям , где — любые числа. Подставляя эти условия в выражения (9), мы получим для определения систему линейных алгебраических уравнений

. (10)

Так как, по доказанному, , то система (10) имеет определенную систему решений . Подставляя в формулы (9) найденные значения произвольных постоянных, мы и получим искомое частное решение. Теорема доказана.

Естественно ввести определение линейной независимости системы функций. Систему функций вида (8) мы назовем линейно независимой, если не существует такой системы постоянных чисел (которые не все равны нулю), что имели бы место на интервале тождеств:

(11)

В противном случае система функций (8) называется линейно зависимой.

Отметим следующий факт: для функций, дающих решение системы линейных дифференциальных уравнений, понятия фундаментальной системы и линейно независимой системы совпадают (вообще-то, требует доказательства).

Задача построения системы линейных уравнений, имеющих заданную систему решений

(8)

решается следующими формулами:

Заметим, что коэффициентом при производных является , определенный формулой (8.1). Если не обращается в нуль на интервале , то, деля на , получаем линейную систему уравнений в нормальной форме.

Пример. Найти линейную однородную систему второго порядка, допускающую следующую систему уравнений:

Искомые уравнения будут:

или, раскрывая определители по первому столбцу и деля оба уравнения на , получаем искомую систему:

Систему линейных дифференциальных уравнений часто записывают в сокращенной форме:

(12)

или в векторной форме

, (13)

где есть -мерный вектор с координатами , есть -мерный вектор с координатами . Удобно рассматривать их как одностолбцовые матрицы.

Определим линейный оператор равенством , тогда уравнение (13) еще короче можно записать в виде

. (14)

Линейная однородная система, таким образом, в краткой записи имеет вид

. (15)

Оператор обладает следующими двумя свойствами:

1) , где — произвольная постоянная.

2) .

Следствием этих свойств является .

Теорема. Если линейная однородная система (15) с действительными коэффициентами имеет комплексное решение , то действительная и мнимая части и в отдельности являются решениями той же системы.