Второй метод Ляпунова

Выдающийся русский математик Ляпунов в конце XIX века разработал весьма общий метод исследования на устойчивость решения системы дифференциальных уравнений

, (14)

получивший название второго метода Ляпунова.

Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:

1) , причем лишь при , т.е. функция имеет строгий минимум в начале координат;

2) при ,

то точка покоя устойчива.

Производная в условии 2) взята вдоль интегральной кривой. Это означает, что она вычислена в предположении, что аргументы функции заменены решением системы дифференциальных уравнений (14). Действительно, в этом предположении , и заменяя правыми частями системы (14), окончательно получим .

Теорема 2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая условиям:

1) имеет строгий минимум в начале координат: ;

2) производная функции , вычисленная вдоль интегральных кривых системы (14) , причем вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при , производная , где — постоянная, то точка покоя системы (14) асимптотически устойчива.

Теорема 3 (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в некоторой замкнутой -окрестности начала координат условиям:

1) в сколь угодно малой окрестности начала координат существует область , в которой , причем на лежащей в части границы области ;

2) в области производная , причем в области , в которой , производная , то точка покоя системы (14) неустойчива.

Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы .

Берем функцию . Она удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости:

1) ;

2) . Вне окрестности начала координат .Следовательно, решение асимптотически устойчиво.

Пример 2. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы .

Функция удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости:

1) ;

2) .

Следовательно, тривиальное решение устойчиво.

Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы уравнений .

Функция удовлетворяет условиям теоремы Четаева о неустойчивости:

1) при ;

2) при , причем при . Следовательно, точка покоя неустойчива.

Пример 4. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы уравнений , если дано, что функция имеет строгий максимум в начале координат.

В качестве функции Ляпунова возьмем разность , которая, очевидно, обращается в нуль при , имеет строгий минимум в начале координат и, следовательно, удовлетворяет условию 1) теоремы Ляпунова об устойчивости. Производная вдоль интегральных кривых . Итак, условия теоремы Ляпунова об устойчивости выполнены, следовательно, тривиальное решение устойчиво.