Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа , где a, b – действительные числа, m, n, p – рациональные числа.

Подынтегральное выражение называют дифференциальным биномом.

Данный интеграл выражается в конечном виде (т.е. первообразная представляет собой элементарную функцию) лишь в следующих трех случаях (этот результат получен выдающимся русским математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821 – 1894):

1) если p – целое число, то применяется подстановка , где k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если – целое число. Тогда применяется подстановка , где – знаменатель дроби ;

3) если – целое число. В этом случае используется подстановка , где – знаменатель дроби p.

Пример 4. Вычислить .

Решение: Перепишем исходный интеграл .

Это интеграл от дифференциального бинома, где ; . Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.

Подстановка дает: .

Поэтому, ,

где .