2014-02-02
5290
Интегралы типа 
, где a, b – действительные числа, m, n, p – рациональные числа.
Подынтегральное выражение 
называют дифференциальным биномом.
Данный интеграл выражается в конечном виде (т.е. первообразная представляет собой элементарную функцию) лишь в следующих трех случаях (этот результат получен выдающимся русским математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821 – 1894):
1) если p – целое число, то применяется подстановка 
, где k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;
2) если 
– целое число. Тогда применяется подстановка 
, где 
– знаменатель дроби 
;
3) если 
– целое число. В этом случае используется подстановка 
, где – знаменатель дроби p.
Пример 4. Вычислить 
.
Решение: Перепишем исходный интеграл 
.
Это интеграл от дифференциального бинома, где 
; 
. Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.
Подстановка 
дает: 
.
Поэтому, 
,
где 
.
