Интегралы типа , , приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью тригонометрических подстановок: для первого интеграла; для второго интеграла; для третьего интеграла.
5. Интегралы типа , где – рациональная функция относительно x и .
Один из возможных методов интегрирования состоит в следующем.
Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене и совершаем замену переменной по формуле , после этого исходный интеграл сводится к одному из следующих трех типов:
1. ;
2. ;
3. .
Эти три типа интегралов вычисляются с помощью тригонометрической подстановки соответственно.
1) ,
2) ,
3) .
В результате этих подстановок указанные интегралы приводятся к виду или .
В частном случае, когда требуется вычислить интегралы типа и , можно обойтись без замены переменной. Вычислим первый из них:
.
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям: .
Тогда .
Вернемся к исходному интегралу: .
Из последнего равенства получаем , и, разделив обе части на два, найдем .
|
|
Поступая аналогично для , получим .
Замечание. Интеграл типа целесообразно находить с помощью подстановки .