2014-02-02
1624
Интегралы типа 
, 
, 
приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью тригонометрических подстановок: 
для первого интеграла; 
для второго интеграла; 
для третьего интеграла.
5. Интегралы типа 
, где 
– рациональная функция относительно x и 
.
Один из возможных методов интегрирования состоит в следующем.
Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене 
и совершаем замену переменной по формуле 
, после этого исходный интеграл сводится к одному из следующих трех типов:
1. 
;
2. 
;
3. 
.
Эти три типа интегралов вычисляются с помощью тригонометрической подстановки соответственно.
1) 
,
2) 
,
3) 
.
В результате этих подстановок указанные интегралы приводятся к виду 
или 
.
В частном случае, когда требуется вычислить интегралы типа 
и 
, можно обойтись без замены переменной. Вычислим первый из них:
.
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям: 
.
Тогда 
.
Вернемся к исходному интегралу: 
.
Из последнего равенства получаем 
, и, разделив обе части на два, найдем 
.
Поступая аналогично для , получим 
.
Замечание. Интеграл типа 
целесообразно находить с помощью подстановки 
.
