2014-02-02
6466
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы типа 
, 
, 
вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:
- Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы типа 
, 
, 
называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат 
и сделать подстановку 
. При этом два первые интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.
Пример 1. Найти интеграл 
.
Решение: Так как 
, то 
. Сделаем подстановку 
. Тогда 
.
Пример 2. Найти интеграл 
.
Решение: Тек как 
, то подстановка имеет вид 
.
Тогда,
.
Интегралы типа 
, где 
- многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой 
, где 
- многочлен степени 
с неопределенными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства
, после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной x.
2. Дробно – линейная подстановка
Интегралы типа 
, где 
– рациональная функция, a, b, c, d – действительные числа, 
– натуральные числа.
Интегралы такого вида вычисляются с помощью подстановки
,
где n – общий знаменатель дробей 
(наименьшее общее кратное чисел 
). В результате этой подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную.
Пример 3. Вычислить 
.
Решение: Положим 
; тогда 
и
