Расчеты при начислении простых процентов

Наращение по простой ставке процентов (i).

Пусть задана исходная (или современная, настоящая— PV) стоимость денег и осуществляется ее наращение, или рост, т.е. процесс увеличения стоимости денег за счет начисления процентов.

Наращенную (будущую) сумму денег через определенный период обозначим FV; число процентных пе­риодов, т.е. периодов начисления процентов, — п; ставку процен­тов за период — i.

Тогда простые декурсивные (обычные) проценты вычисляют­ся следующим образом:

PV ∙ i = I₁, где I₁ — сумма процентных денег, начисленных за единицу времени;

PV ∙ п ∙ i = I_n — сумма процентных денег, начисленных за все (n) процентные периоды.

Процесс наращения суммы денег за счет начисления простых про­центов выглядит как арифметическая прогрессия: PV; PV+PV ∙ i; PV+2 ∙ PV ∙ i, PV+3 ∙ PV ∙ i и т.д. с первым членом PV иразностью PV ∙ i ианалитически для п периодов может быть выражен:

FV = PV + PV ∙ i + …+ PV ∙ i = PV + n ∙ PV ∙ i = PV ( 1 + n i), (1)

где n ∙ PV ∙ I =I_n

Формулой выражается суть практических расчетов, свя­занных с исчислением:

• суммы погашения ссуды, предоставленной под простые про­центы;

• размера срочного вклада с процентами.

При этом ситуация, где п — число процентных периодов, i — ставка за период, выглядит так:

п — срок финансовой операции;

i — ставка за период; проценты начисляются весь срок по ис­течении данного периода.

Пример 1. Банк выдал ссуду 10 тыс. руб. на 2 года под 10% годовых. Определить подлежащую возврату сумму, если простой процент: начисляется за каждый год, а долг гасится единовременным платежом.

Решение. FV = PV ( 1 + n i) = 10 (1 + 2 ∙ 0,1) = 12 тыс.руб.

Такого вида вычисления встречаются редко. Для подобных расчетов чаще пользуются формулой (2), где аналитически выражен принцип расчета для случаев, когда задана годовая ставка i, a cpoк операции выражен в днях, реже — в месяцах. Обозначим срок операции через t. Для перевода срока финансовой операции в доли от года используют уравнивающий знаменатель Y (от англ. year — год), обозначающий продолжительность года, выраженную в тех же единицах, что и t. Отношение t/Y подставим вместо п в (1). Получим формулу, которая наиболее часто используется и является разновидностью формулы (1):

FV = PV ( 1 + t/Y∙ i) = PV + PV ∙ t/Y∙ i = PV + I_n (2)

Формула (2) используется при:

• определении абсолютной величины процентов и наращенной суммы в целом при обслуживании вкладов до востребования

• обслуживании текущих счетов;

• расчете суммы долга с процентами при сроке операции ме­нее года и погашении долга единовременным платежом;

• замене и консолидации платежей;

• определении размера процентных платежей при составлении планов амортизации (погашения) задолженности.

Прежде чем рассматривать другие примеры, заметим, что t и Y в случае измерения их в днях могут быть выражены точно или приближенно.

В зависимости от сочетания t и Y, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

1) t и Y измерены точно — это значит начислить точные про­центы с фактическим сроком операции. Для определения t здесь пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала (если день выдачи и день погашения ссуды считаются за 1);

2) если t измерено точно, a Y — приближенно. Этот способ ис­пользуется для вычисления обыкновенных (коммерческих) про­центов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычисле­нии в выражении t/Y знаменатель меньше, чем при расчетах в случае 1, т.е. 360 по сравнению с 365, то размер начисленных про­центов при прочих равных условиях соответственно будет несколь­ко большим — на 1,3889 %.

В России по такому принципу ведутся все банковские опера­ции;

3) когда t u Y измерены приближенно. Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с при­ближенным сроком операции при некоторых видах расчетов с населением.

Пример 2. Организации предоставлена ссуда 100 тыс. руб. под 10% годовых с 01.01 по 01.04 текущего года. Определить подлежа­щую возврату сумму. Долг гасится единовременным платежом.