Консолидация платежей

Для наращения и дисконтирования денежных сумм могут применяться различные виды процентных ставок. Часто требуется определить ставки, которые в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам, когда замена одного вида ставки на другой, при соблюдении принципа эквивалентности, не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции.

Процентные ставки, обеспечивающие равноценность финансовых последствий называются эквивалентными. Эквивалентность ставок обеспечивается равенством множителей наращения или дисконтных множителей.

Таблица 3.1 – Эквивалентность процентных ставок

№ п/п	Вид ставки	Формула эквивалентности
		Срок сделки выражен в годах (n)
(3.1)	(3.2)
Срок сделки выражен в месяцах (m)
(3.3)	(3.4)
Срок сделки выражен в днях (временная база для обеих ставок 360 дней)
(3.5)	(3.6)
Срок сделки выражен в днях (временная база для процентной ставки 365 дней, а для учетной ставки 360 дней)
(3.7)	(3.8)

Продолжение таблицы 3.1

№ п/п	Вид ставки	Формула эквивалентности
		(3.9)	(3.10)
		(3.11)	(3.12)
		(3.13)	(3.14)
		(3.15)	(3.16)
		(3.17)	(3.18)
		(3.19)	(3.20
		(3.21)	(3.22)
		(3.23)	(3.24)
		(3.25)	(3.26)
		(3.27)	(3.28)
		(3.29)	(3.30)
		(3.31)	(3.32)
		(3.33)	(3.34)
		(3.35)	(3.36)

Пример 3.1 Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15,0 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки?

Решение.

По формуле 3.1 находим:

, или 17,647%.

Пример 3.2 Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (K=365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

Решение.

Находим эквивалентную сложную ставку по формуле 3.9

или 17,153%.

Пример 3.3 При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 28% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально?

Решение.

Воспользуемся формулой 3.20:

; .

Если в финансовой операции размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней.

Пусть за периоды начисляются простые проценты по ставкам .

Средние процентные ставки получим посредством приравнивания соответствующих множителей наращения друг к другу: ,

отсюда .

Аналогично получим , (3.37)

где N = - общий срок наращения процентов,

и - средняя учетная и процентная ставка.

Если изменяются во времени и первоначальные суммы, то .(3.38)

Если усредняются переменные во времени ставки сложных процентов, то:

; (3.39)

. (3.40)

Пример 3.4 Для первых двух лет ссуды применяется ставка 20%, для следующих трех лет она составляет 24%. Нужно найти среднюю ставку.

Решение.

0,22384, или 22,384%.

Иногда меняются только суммы ссуд и проценты, а сроки операций равны.

Если применяются простые проценты, то . (3.41)

Когда усредняются сложные процентные ставки, то средняя ставка составит

. (3.42)

Часто возникает необходимость изменения условий ранее заключенных сделок: изменение сроков платежей, объединение нескольких платежей в один – консолидация платежей.

Пусть платежи со сроками выплат заменяются одним в сумме и сроком . В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок , то находится сумма , и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа, то определяется его срок.

Определение размера платежа.

1) Если используется простая процентная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа, то

, (3.43)

где - размеры объединяемых платежей со сроками < .

2) Если используется простая процентная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа, то

, (3.44)

где S_j – размеры платежей со сроками погашения n_j < n_o, - размеры платежей со сроками > , , .

3) Если используется простая учетная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа, то

. (3.45)

4) Если используется простая учетная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа, то

. (3.46)

5) Если используется сложная процентная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа:

, при n_o > n_j. (3.47)

6) Если используется сложная процентная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа:

, при n_j < n_o < n_к. (3.48)

7) Если используется сложная учетная ставка, а сроки объединяемых платежей меньше срока консолидированного платежа, то

. (3.49)

8) Если используется сложная учетная ставка, а сроки объединяемых платежей как меньше, так и больше срока консолидированного платежа:

. (3.50)

Определение срока консолидированного платежа.

При начислении простых процентов срок консолидированного платежа n_o находится по формуле:

= , (3.51)

где Р₀ – современная стоимость консолидируемых платежей,

. (3.52)

При использовании сложных процентов:

, (3.53)

где . (3.54)

Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок.

Обозначим силу роста через – b.

Эквивалентность сложной процентной ставки и силы роста:

; . (3.55)

Эквивалентность номинальной процентной ставки и силы роста:

; . (3.56)

Эквивалентность силы роста и учетной ставки:

; ; ; . (3.57)