Другая форма представления гармонического ортогонального базиса на интервале ¸ основывается на использовании комплексных экспонентациальных функций вида:
, n = 0, ± 1, ± 2, …
(*)
Представление f(t) в виде ряда (*) называется комплексным, или экспонентациальным, рядом Фурье.
Коэффициенты этого ряда так же вычисляются по формулам для коэффициентов обобщенного ряда Фурье, и принимают вид:
(**)
Из (**) следует, что коэффициенты ряда Fn являются комплексными величинами, т.е. их можно представить в виде:
(***)
Если раскладываемая функция f(t) является действительной, коэффициенты Fn и F-n в выражении (*) являются комплексно-сопряженными, т.е. если Fn определяется выражением (***), то F-n будет определяться:
Наличие в разложении (*) коэффициент F-n эквивалентно присутствию в спектре f(t) составляющих, соответствующих отрицательным частотам . Для того чтобы понять смысл отрицательных частот, отметим, что в выражении (*) каждому значению соответствует пара , которые являются комплексно-сопряженными. При этом сумма:
|
|
является действительной. Т.о., отрицательные частоты – это понятие физическое, а не математическое. С его помощью оказывается возможным представить действительную функцию f(t) в комплексном базисе с комплексными коэффициентами. Тригонометрические и комплексные ряды Фурье представляют собой два различных способа записи обобщенного ряда Фурье в гармоническом базисе. Между коэффициентами an, bn тригонометрического ряда и Fn существует взаимосвязь.
Воспользовавшись формулой Эйлера, имеющей вид , можно показать, что
При n = 0 получаем a0 = F0:
С использованием полученных результатов можно установить взаимосвязь между коэффициентами Fn и параметрами фаз и амплитуд:
Полученные соотношения позволяют убедиться, что совокупность значений характеризует спектр амплитуд, а совокупность - спектр фаз. Отметим, что спектр амплитуд является четной, а спектр фаз – нечетной функций номера n или частоты. Представление ряда Фурье в комплексной форме является более компактным. Кроме того, для определения коэффициентов Fn необходимо вычислить только один интеграл, а не два.