2014-02-02
389
С помощью экспонентациального или тригонометрического ряда Фурье можно представить либо периодическую функцию на интервале 
, либо временную на интервале 
¸ 
. Желательно было бы иметь любую периодическую или непериодическую функцию на бесконечном интервале. Для решения этой задачи рассмотрим финитную функцию fT(t) длительностью Т, которая может быть представлена в виде экспонентациального ряда Фурье
(*)
(**)
Введем новые обозначения:
С их учетом (*) и (**) представим в виде:
(***)
(4*)
Подставив в формулу (***) 
, получим:
(5*)
Предположим теперь, что 
. С увеличением Т уменьшается 
(частота первой гармоники), спектр становится плотнее. Как видно из (**), амплитуда Fn отдельных спектральных составляющих при этом уменьшается, но форма частотного спектра, определяемая соотношением этих составляющих, остается неизменной. В пределе при амплитуда спектральных составляющих становится бесконечно малыми, но при этом частоты спектральных составляющих приближаются друг к другу (
, они отличаются на 
). Спектр существует на любой частоте, и из дискретных функций частоты превращаются в непрерывный. При этом (5*) и (4*) преобразуются:
|
|
|
(6*)
(7*)
Выражения (6*) и (7*) называются соответственно обратным и прямым преобразованием Фурье. Равенство (6*) представляет непериодическую функцию f(t) как непрерывную сумму экспонентациальных функций с частотами из интервала 
. Амплитуда составляющей на любой частоте 
пропорциональна 
, поэтому характеризует плотность распределения функции f(t) по частотам гармоник, и называется функцией спектральной плотности. Если исследуем сигнал напряжения, то имеет размерность 
. Из выражения (7*) видно, что является комплексной функцией частоты, поэтому её называют комплексным спектром сигнала f(t). Модуль
называется спектром амплитуд, а аргумент
– спектром фаз. Если бы в исходной функции наших рассуждений мы записали бы разложение 
не в экспонентациальном, а тригонометрическом ряде Фурье, то аналогичным образом могли бы прийти к понятиям действительных спектральных плотностей 
и 
: результатов аналогичных предельных переходов коэффициентов an и bn тригонометрического ряда Фурье. Так же приведенные преобразования могут быть выполнены по отношению к другим базисным функциям, что позволяет распределить разложение функции в обобщенный ряд Фурье на бесконечном интервале.
