double arrow

Обнаружение автокорреляции

В силу неизвестности значений параметров регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений , поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок , полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

Графический метод. Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них состоит в анализе последовательно-временных графиков. По оси абсцисс откладывают время, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (Рис. 1).

Рис. 1.

Естественно предположить, что на рис. 1, а - г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 1, д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 1, б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 1, б дополнить графиком зависимости от (рис. 2).

Рис. 2

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Современные ППП решение задач построения регрессии дополняют графическим представлением результатов: график реальных колебаний зависимой переменной накладывается на график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставление этих графиков часто дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции.

Метод рядов. Последовательно определяются знаки отклонений . Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-), т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называют длиной ряда. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Пусть n – объем выборки, n1 и n2 – общее количество, соответственно, знаков «+» и «-», k – количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n1 > 10,

n2 > 10) и отсутствии автокорреляции случайная величина k имеет асимптотически нормальное распределение с

; .

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Число определяется по таблице функции стандартного нормального распределения из равенства F() = . Например, при , =1,96 и при , =2,58.

Для небольшого числа наблюдений (n1 < 20, n2 < 20) разработаны таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях. Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки n1 и столбца n2 определяются нижнее k1 и верхнее k2 значения при уровне значимости (Рис.3).

автокорреляция > 0 автокорреляция = 0 автокорреляция < 0

______kk1_________k1<k<k2_________kk2____________

k1 k2

Рис.3.

Пример 1.Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потребление y от среднедушевого дохода х по данным некоторой страны за 16 лет.

Исходные (и расчетные для примера 3) данные (усл.ед.) представлены в следующей таблице:

0,18 - -
0,76 37,51 38,99
0,12 40,99 44,47
0,28 43,45 46,92
-1,55 43,92 49,88
-2,58 45,4 51,83
-1,22 50,88 56,3
-2,03 47,33 53,75
0,94 54,33 58,24
2,1 56,78 61,71
3,49 56,74 60,66
4,69 57,22 60,65
-1,56 57,2 69,14
-1,79 59,7 68,58
-1,01 62,17 70,55
-0,82 61,15 69,53

Пусть исходная модель имеет вид: .

По исходным данным с использованием МНК получено следующее оцененное уравнение регрессии:


ВЫВОД ИТОГОВ          
             
Регрессионная статистика          
Множественный R 0,993402          
R-квадрат 0,986847          
Нормированный R-квадрат 0,985908          
Стандартная ошибка 2,108545          
Наблюдения          
             
Дисперсионный анализ        
df SS MS F Значимость F  
Регрессия 4670,194 4670,194 1050,435 1,43E-14  
Остаток 62,24347 4,445962      
Итого 4732,438        
             
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 10,987 2,771947 3,963639 0,001413 5,041761 16,93223
x 0,805944 0,024867 32,41042 1,43E-14 0,75261 0,859278

График остатков свидетельствует о наличии автокорреляции.


,

(в скобках указаны стандартные ошибки).

Используя метод рядов, получим: n = 16, (++++)(----)(++++)(----), n1 = 8 < 20, n2 = 8 < 20, k = 4. По таблицам (Приложение 1) k1 =4, k2 =14. Т.к. kk1, то принимается предположение о наличии положительной автокорреляции (Рис. 3).

Критерий Дарбина-Уотсона.

Оценкой коэффициента корреляции является коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, который при достаточно большом числе наблюдений имеет вид:

.

Считается, что , .

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии корреляции первого порядка, т.е. . В качестве альтернативной гипотезы может выступать либо , либо .

Для проверки нулевой гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона, рассчитываемую по формуле:

.

Если автокорреляция остатков отсутствует , то .

При положительной автокорреляции имеем , а при отрицательной - соответственно, .

По таблице определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений, числа объясняющих переменных и уровня значимости. По этим значениям отрезок разбивается на 5 зон (рис.4). В зависимости от того, в какую зону попадает расчетное значение критерия, принимают или отвергают соответствующую гипотезу.

Зона неопределенности Зона неопределенности  
4- 4-
                   

Рис. 4

Наличие зоны неопределенности связано с тем, что распределение DW- статистики зависит не только от числа наблюдений и числа объясняющих переменных, но и от значений объясняющих переменных.

Пример 2. Пусть оценена парная регрессия (пример 1). Рассчитаем DW – статистику: DW= 0,991. Зададим уровень значимости 5% и найдем по таблице (Приложение 2) =1,106 и =1,371. Поскольку , то нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза о положительной автокорреляции остатков (Рис. 4).

Замечание. Тест Дарбина-Уотсона разработан в предположении, что объясняющие переменные некоррелированы со случайным членом.

Обнаружение автокорреляции в модели с лаговой зависимой переменной.

Статистика Дарбина-Уотсона неприменима, когда уравнение регрессии включает лаговую зависимую переменную, например . В таком случае можно использовать h-статистику Дарбина, которая также вычисляется на основе остатков:

,

где DW – значение статистики Дарбина-Уотсона, n – число наблюдений в выборке, var(b) – оцененная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной.

Значение h можно вычислить на основе обычных результатов оценивания регрессии. Этот тест предназначен только для проверки на наличие автокорреляции первого порядка.

При больших выборках h распределена как по нулевой гипотезе об отсутствии автокорреляции. Следовательно, при применении двустороннего критерия и большой выборке гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть отклонена:

· если при уровне значимости 5%;

· если при уровне значимости 1%.

Тест Дарбина не применим, если .


Сейчас читают про: