Обнаружение автокорреляции

В силу неизвестности значений параметров регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений , поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок , полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

Графический метод. Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них состоит в анализе последовательно-временных графиков. По оси абсцисс откладывают время, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения (Рис. 1).

Рис. 1.

Естественно предположить, что на рис. 1, а - г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 1, д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 1, б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 1, б дополнить графиком зависимости от (рис. 2).

Рис. 2

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Современные ППП решение задач построения регрессии дополняют графическим представлением результатов: график реальных колебаний зависимой переменной накладывается на график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставление этих графиков часто дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции.

Метод рядов. Последовательно определяются знаки отклонений . Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-), т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называют длиной ряда. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Пусть n – объем выборки, n₁ и n₂ – общее количество, соответственно, знаков «+» и «-», k – количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n₁ > 10,

n₂ > 10) и отсутствии автокорреляции случайная величина k имеет асимптотически нормальное распределение с

; .

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Число определяется по таблице функции стандартного нормального распределения из равенства F() = . Например, при , =1,96 и при , =2,58.

Для небольшого числа наблюдений (n₁ < 20, n₂ < 20) разработаны таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях. Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки n₁ и столбца n₂ определяются нижнее k₁ и верхнее k₂ значения при уровне значимости (Рис.3).

автокорреляция > 0 автокорреляция = 0 автокорреляция < 0

______kk₁_________k₁<k<k₂_________kk₂____________

k₁ k₂

Рис.3.

Пример 1. Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потребление y от среднедушевого дохода х по данным некоторой страны за 16 лет.

Исходные (и расчетные для примера 3) данные (усл.ед.) представлены в следующей таблице:


0,18	-	-
0,76	37,51	38,99
0,12	40,99	44,47
0,28	43,45	46,92
-1,55	43,92	49,88
-2,58	45,4	51,83
-1,22	50,88	56,3
-2,03	47,33	53,75
0,94	54,33	58,24
2,1	56,78	61,71
3,49	56,74	60,66
4,69	57,22	60,65
-1,56	57,2	69,14
-1,79	59,7	68,58
-1,01	62,17	70,55
-0,82	61,15	69,53

Пусть исходная модель имеет вид: .

По исходным данным с использованием МНК получено следующее оцененное уравнение регрессии:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,993402
R-квадрат	0,986847
Нормированный R-квадрат	0,985908
Стандартная ошибка	2,108545
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		4670,194	4670,194	1050,435	1,43E-14
Остаток		62,24347	4,445962
Итого		4732,438

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	10,987	2,771947	3,963639	0,001413	5,041761	16,93223
x	0,805944	0,024867	32,41042	1,43E-14	0,75261	0,859278

График остатков свидетельствует о наличии автокорреляции.

(в скобках указаны стандартные ошибки).

Используя метод рядов, получим: n = 16, (++++)(----)(++++)(----), n₁ = 8 < 20, n₂ = 8 < 20, k = 4. По таблицам (Приложение 1) k₁ =4, k₂ =14. Т.к. kk₁, то принимается предположение о наличии положительной автокорреляции (Рис. 3).

Критерий Дарбина-Уотсона.

Оценкой коэффициента корреляции является коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, который при достаточно большом числе наблюдений имеет вид:

Считается, что , .

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии корреляции первого порядка, т.е. . В качестве альтернативной гипотезы может выступать либо , либо .

Для проверки нулевой гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона, рассчитываемую по формуле:

Если автокорреляция остатков отсутствует , то .

При положительной автокорреляции имеем , а при отрицательной - соответственно, .

По таблице определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений, числа объясняющих переменных и уровня значимости. По этим значениям отрезок разбивается на 5 зон (рис.4). В зависимости от того, в какую зону попадает расчетное значение критерия, принимают или отвергают соответствующую гипотезу.

	Зона неопределенности		Зона неопределенности
			4- 4-

Рис. 4

Наличие зоны неопределенности связано с тем, что распределение DW- статистики зависит не только от числа наблюдений и числа объясняющих переменных, но и от значений объясняющих переменных.

Пример 2. Пусть оценена парная регрессия (пример 1). Рассчитаем DW – статистику: DW= 0,991. Зададим уровень значимости 5% и найдем по таблице (Приложение 2) =1,106 и =1,371. Поскольку , то нулевая гипотеза отклоняется и принимается гипотеза о положительной автокорреляции остатков (Рис. 4).

Замечание. Тест Дарбина-Уотсона разработан в предположении, что объясняющие переменные некоррелированы со случайным членом.

Обнаружение автокорреляции в модели с лаговой зависимой переменной.

Статистика Дарбина-Уотсона неприменима, когда уравнение регрессии включает лаговую зависимую переменную, например . В таком случае можно использовать h-статистику Дарбина, которая также вычисляется на основе остатков:

где DW – значение статистики Дарбина-Уотсона, n – число наблюдений в выборке, var(b) – оцененная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной.

Значение h можно вычислить на основе обычных результатов оценивания регрессии. Этот тест предназначен только для проверки на наличие автокорреляции первого порядка.

При больших выборках h распределена как по нулевой гипотезе об отсутствии автокорреляции. Следовательно, при применении двустороннего критерия и большой выборке гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть отклонена: