Параграф 1.10.1: Комплексное представление детерминированных сигналов

Параграф 1.10: Комплексное и квазигармоническое представление сигналов.

В электротехнике широко используется символический метод, в соответствие с которым принято представлять гармонические колебания (ток, напряжение) в форме:

Такой прием позволяет заменить выполнение трудоемких алгебраических операций с тригонометрическими функциями более простыми действиями над комплексными величинами, облегчает решение многих задач и приводит к правильным результатам, если полученное комплексное решение заменить его действительной или мнимой частью.

В современной технике связи представление колебаний в комплексной форме получило дальнейшее развитие и распространено на негармонические сигналы. Обобщением символического метода является представление любого сложного сигнала комплексной функции:

В частном случае гармонического сигнала .

При этом сопряженный сигнал ,отличается от действительного сигнала только сдвигом фазы на ().

В общем случае негармонического сигнала x(t) также определим сопряженный сигнал как результат поворота фаз всех гармонических составляющих спектральной характеристики на (). Иначе говоря, если x(t) можно представить интегралом Фурье в тригонометрической форме:

то ,

где ,

Можно показать, что два сигнала x(t) и, удовлетворяющие этим условиям, связанны между собой во временной области интегральными преобразованиями, называемыми преобразованиями Гильберта:

Первая из этих формул выражает прямое преобразование Гильберта, а вторая - обратное преобразование Гильберта.

Комплексный сигнал называют аналитическим сигналом, если есть преобразование Гильберта от .

Определим, как связан спектр аналитического сигнала и спектр исходного сигнала x(t). Так как фазы всех составляющих спектральной плотности сопряженного сигнала в области положительных частот сдвинуты на () относительно, , а умножение на j означает сдвиг фазы на (), то имеет в области положительных частот такой же спектр, как и x(t). В области же отрицательных частот преобразование Гильберта соответствует повороту фаз на (), и поэтому спектре фазы с отрицательными частотами сдвинуты на относительно спектра x(t).

В результате спектр аналитического сигнала в области отрицательных частот равен нулю, а в области положительных частот спектры x(t) и складываются в одной фазе.