Решение системы линейных алгебраических
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:
Ее можно записать в матричном виде A x = B, где
Решить СЛУ – значит найти набор таких чисел , которые превращают уравнения в верные равенства.
СЛУ совместна, если она имеет хотя бы одно решение.
СЛУ несовместна (противоречива), если она не имеет решения.
Совместная СЛУ определенна, если она имеет единственное решение и неопределенна, если более одного решения.
СЛУ имеет единственное решение, если ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы (A|b): rang (A) = rang (A|b).
СЛУ имеет единственное решение, если rang (A) = n и бесконечно много решений, если rang (A) < n.
Если матрица A – квадратная и det(A)¹0, то она называется невырожденной.
СЛУ с n неизвестными, имеющими невырожденную матрицу A, совместна и имеет единственное решение.
Единичной матрицей E называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на остальных местах – нули.
Обратной матрицей по отношению к матрице A называется такая матрица A -1, что A A -1= A -1 A = E.
Матрица AT, полученная перестановкой в матрице A строк со столбцами, называется транспонированной.
Квадратная матрица симметрична, если A=AT.
Все численные методы решения СЛУ можно разделить на прямые, итерационные и вероятностные.
Прямые методы дают решение системы за конечное число арифметических операций.
Например, метод Крамера (метод определителей),
метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
«Плюсы» | «Минусы» |
· Просты · Универсальны · Не требуют приведения к определенному виду | · Достаточно громоздкие вычисления |
Итерационные методы дают решение системы как предел последовательности приближений, вычисляемых по единообразной схеме.
Например, метод простой итерации,
метод Зейделя.
«Плюсы» | «Минусы» |
· Требуют мало места в памяти · Самоисправляющиеся методы | · Требуют приведения к определенному виду |
Вероятностные методы носят общее название – методы Монте-Карло.
Пусть получено решение СЛУ: . Рассматривается вектор невязки . Если велико, то где-то допущена ошибка, если мало, то ошибка отсутствует.