Барометрическая формула

До сих пор, рассматривая идеальный газ, мы не учитывали влияние поля силы тяжести. На Земле, однако, сила тяжести действует на любые тела, в том числе и на молекулы газа. И, как мы знаем, именно земное тяготение обуславливает изменение плотности газа с высотой над поверхностью Земли.

Рассмотрим вертикальный столб газа. Пусть у поверхности Земли, где h =0, давление равно Р ₀ , а на высоте h равно Р. При изменении высоты на dh давление изменяется на dP. Давление газа на некоторой высоте равно, как известно, весу вертикального столба газа, находящегося на этой высоте над площадью, равной единице. Поэтому dP равно разности весов столбов газа на высотах h и h+dh, то есть равно весу столба газа высотой dh с площадью основания, равной единице:

, (8.5)

где r – плотность газа, а g – ускорение свободного падения. Знак минус отражает тот факт, что давление с увеличением высоты уменьшается. Плотность газа найдем из уравнения состояния идеального газа: , получим, что

. (8.6)

Подставим выражение (8.6) в выражение (8.5):

, или .

Вообще-то говоря, температура изменяется с высотой. Если известен закон изменения температуры, то последнее соотношение можно проинтегрировать. Мы рассмотрим простой случай, когда Т = const. Тогда, интегрируя последнее соотношение, получим, что:

, (8.7)

где С – постоянная интегрирования. Тогда, потенцируя выражение (8.7), получим, что

. (8.8)

Константу С можно найти из условия, что при h= 0 (на уровне моря) давление равно P ₀. Тогда окончательно получим:

. (8.9)

Выражение (8.9) называется барометрической формулой. Из этой формулы следует, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону. Этим законом пользуются для определения высоты над Землей путем измерения давления на данной высоте и на уровне моря (конечно, последнее достаточно измерить один раз). Приборы, служащие для измерения высоты горных вершин, полета самолета и т.д., представляют собой специальные барометры, шкала которых проградуирована в метрах. Для этих целей, однако, необходимо в уравнении (8.9) внести поправку на температуру, которая, как известно, понижается с ростом высоты, в то время как барометрическая формула получена нами в предположении постоянства температуры на всех высотах.

Уравнение состояния идеального газа можно, как мы знаем, записать в виде . Подставим это выражение в выражение (8.9), в итоге получим (температуру по-прежнему считаем постоянной):

. (8.10)

В выражении (8.10) n (h) – концентрация молекул газа на высоте h, а n ₀ – на уровне моря. Из формулы (8.10) следует, что причиной падения давления с ростом высоты над уровнем моря является уменьшение концентрации молекул газа. Причем концентрация молекул быстрее всего уменьшается для тяжелых газов (большие M).