Механический смысл производной

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномер­но по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует опре­деленное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занима­ет положение M, то в момент времени t + ∆ t (∆t — приращение времени) точка займет положение M ₁, где ОМ ₁ = S + ∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 1). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S = S (t + ∆t) – S (t).

Рис. 1.

Отношение выражает среднюю скоростьдвижения точки за вре­мя ∆t:

V_ср.= .

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежут­ка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V,получим

, или . (7.4)

Если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.