Производная сложной функции. Пусть у=f(и) и и=φ(x), тогда у=f(φ(x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х

Пусть у = f (и) и и = φ (x), тогда у=f (φ (x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема. Если функция и = φ (х)имеет производную в точке х, а функ­ция у = f (u)имеет производную в соответствующей точке и = φ(х), то сложная функция у = f (φ(x))имеет производную в точке х,которая находится по фор­муле = ·.

6. 8. Производная обратной функции

Пусть функция определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке . Тогда в соответствующем промежутке значений этой функции существует однозначная обратная функция , так же монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.

Теорема. Если функция у = f (x) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет неравную нулю производную f ′(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x = φ(у)также имеет производную φ'(у)в соответствующей точке, определяемую равенством или .

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

или