Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть функции u = u (х) и v = v (x) - две дифференцируемые, в некотором интервале (а; b) функции.

Теорема. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u ± v)' = u ' ± v '.

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u·v)' = u ' v + v ′ u

Можно показать, что:

а) (с · и)' = с · u ′, где с = const;

б) (и · v · w)' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'.

Теорема. Производная частного двух функций , если v (x) ≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производ­ную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя , v ≠ 0.

Следствие. .

Следствие. ,где с = const.