Синтез замкнутой системы регулирования по корням

Лекция 15

характеристического уравнения.

Выше было показано, что корни характеристического уравнения определяют устойчивость системы и характер переходных процессов. От величины корней зависит скорость сходимости переходных процессов. Чем больше действительные части, тем быстрее экспоненты стремятся к нулю, время регулирования можно оценить следующим выражением:

-степень устойчивости; определяется как минимальное значение из всех действительных частей корней характеристического уравнения, взятых по модулю:

- допустимое отклонения переходного процесса от установившегося значения, задаваемое в долях от установившегося значения.

=0,01; 0,02; 0,05

Величина перерегулирования оценивается так:

- колебательность, определяется

- мнимая часть корня;

- действительная часть корня;

Графически, область выбора корней на комплексной плоскости

Алгоритм синтеза системы, заключается в следующем:

1) по заданным показателям качества регулирования определяют допустимую область существующих корней характеристического уравнения.

2) выбирают корректирующее звена (регулятор), записывают передаточную функцию системы;

3) определяют количество корней характеристического уравнения и выражают корни через коэффициенты корректирующего звена (регулятора) с помощью уравнений;

4) выбирают корни из допустимой области;

5) пересчитывают значения коэффициентов корректирующего звена (регулятора);

6) строят переходные процессы замкнутой системы и определяют показатели качества по которым синтезируется система, сравнивают их с допустимыми. Если показатели качества не хуже требуемых, заканчивают синтез.

Зачастую, при пересчёте параметров по корням характеристического уравнения, или по показателям качества при синтезе используется коэффициент чувствительности системы, где

Нi – показатель качества

qi – параметр системы

Для статической системы коэффициент чувствительности установившейся ошибки к коэффициенту усиления системы определяется как:

ус – усиление;

уст – установившееся

а=arctg(μ)

Рассмотрим синтез по корням на примере:

Передаточная функция замкнутой системы

Характеристическое уравнения для замкнутой системы D(S)=0.

Уравнение третьего порядка вида можно записать по формуле Безу: ,

-корни характеристического уравнения.

Сопоставляя полученное уравнения с характеристическим уравнением D(S)=0, запишем уравнения для коэффициентов регулятора, связывающие их с корнями характеристического уравнения:

Для того чтобы обеспечить положительность и действительность коэффициентов Ki, Kп, Kд при конечных корнях характеристического уравнения возможны дополнительные условия, которые выполняются за счет перемещения корней в допустимой области.

- по заданным значением времени регулирования (Тр), величине установившейся ошибки, перерегулированию выбираем ∆ и находим η (степень устойчивости)

- выбираем s₁, s₂, s₃;

- если выбираем комплексные корни, то они должны идти парами с одинаковой действительной частью и противоположными по закону мнимыми;

- по полученным уравнениям, связывающих коэффициент и корни, находимзначения Ки, Кп, Кд.

- строим переходный процесс и проверяем качество регулирования.