Передаточная функция системы

Математические модели объектов и САУ

Для формализованного описания САУ используют три вида моделей (все они математические):

1. Модели представления системы во временной области – модели в пространстве состояний;
2. Модели представления системы в частотной области, получившие название вход/выход, получившие название операторная модель;
3. Структурные схемы – графические модели.

Для исследования процессов САУ необходимо в любом виде моделей составить описание ее в виде системы дифференциальных уравнений. Необходимо установить значение всех начальных условий, определить вид функций, описывающих внешнее воздействие.

Математическая модель САУ в терминах преобразования «вход/выход»

В инженерной практике большое распространение получил операторный метод исследования системы, который использует некоторые специальные функции, характерные динамические свойства САУ, такие как передаточная функция, переходные функции и различные частотные функции.

Для этого метода справедливо:

• Каждый реальный элемент САУ – это устройство, звено системы, в котором осуществляется образование одного воздействия (входного процесса) в другое (выходная реакция или выходной процесс);
• Взаимодействие между звеньями создаются путем описания связей между их входами и выходами, определяющими структуру САУ.

Пусть нам задано, что рассматриваемая линейная функция САУ, для описания которой используется линейное дифференциальное уравнение, записываемое в следующем виде:

; 

;

, где

и – параметры системы.

Возьмем оператор дифференцирования для представления системы в операторной форме:

– оператор дифференцирования;

;

.

Перепишем  используя оператор дифференцирования:

;

, где ‚

и – многочлены -ой степени

;

.

Разделим левую и правую части операторной формы на :

; ƒ

Вводится операторная передаточная функция:

;

.

Представление системы в виде ƒ является символическим, оно не даст решения дифференциального уравнения, т.к. не определен смысл деления на .