double arrow

Продолжение

Методы расчета фундаментальной матрицы

  1. – ряд Фурье
  2. Использование операторного метода
    ;
    ; .

Пример (вычисление фундаментальной матрицы)

Пусть задана система в виде:

; – произвольные.

Вычислить фундаментальную матрицу системы .

Решение:

;

;

; ;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

.

Элементы матрицы имеют вид, зависящий от корней характеристического уравнения .

  1. Если корни характеристического уравнения простые (некратные, вещественные), то элемент
    , где
    – корни характеристического уравнения;
    – числа, которые являются коэффициентами разложения на простые дроби элементов .
  1. Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то
    , где
    – гармоническая составляющая
    ; ­
    ;
    ;
    .

  1. Если корни вещественные, кратные
    -ой кратности
    ; ;
    .

;

;

;

;

;

; 

; ‚

;

Представление ­ показывает, что матричная экспонента является матрицей, каждая компонента которой линейная комбинация скалярной экспоненты , а т.к. весовые матицы и соответственно равны  и ‚ также имеют своими компонентами линейные комбинации тех экспонент. Вид этих экспонент (затухающие или возрастающие) определяют траекторию движения системы и .

;

;

.


Сейчас читают про: