double arrow

Условия устойчивости

1. - должна быть абсолютно интегрируема выходная величина.

2. Все корни характеристического уравнения должны быть левыми (отрицательными).

Примеры:

по критерию Гурвица

  1. Определить устойчивость системы.

, а0>0

Заменяем Т=а0, 1+k=а1. Получаем матрицу Гурвица

Если предполагаем, что а0>0 и k>0, тогда система будет устойчивой.

Система с характеристическим уравнением 1-го порядка устойчива, если все его коэффициенты положительны.

2.

. Заменяем T2S2=a0, TS=a1, 1+k=a2. Получим матрицу Гурвица .

Система будет устойчивой, если а0>0, а1>0 и k>0.

  1. При каких соотношениях система устойчива.

. Заменяем T1S+1=a0, T2S+1=a1, T3S+1=a2, k=a3.

Получим матрицу Гурвица .

Отсюда соотношения

Система будет устойчивой, если а0а31а2, k<kгр=(1/Т1+1/Т2+1/Т3)(Т123)-1.

Для системы 3-го порядка должны выполняться соотношения между коэффициентами. Если k>kгр, то система становится неустойчивой. При Т123kгр принимается минимально возможное значение =Δ.

Почему берем точку (-1; j0)?

Передаточная функция замкнутой системы . 1+φрс(S)=0, тогда φрс(S)=-1.

Примеры:

по критерию Найквиста.

  1. Дана система

φр(S)=1, φр(jω)=1.

Годограф

Система устойчива, т.к. не проходит через точку (-1; j0).

То же самое решим по критерию Михайлова.

Передаточная функция системы будет φ(S)=1/(1+1), G(S)=2, a0=2.

  1. Дана система

φ(S)=eτs

Годограф

Система неустойчива т.к. проходит через точку (-1; j0).

3. Дана система

φ(S)=1/S

Годограф

Система устойчива, т.к. коэффициенты положительны и уравнение 1-го порядка.


Сейчас читают про: