Частотный критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста для импульсных систем формулируется так же, как и для непрерывных систем: система устойчива, если АФХ W () устойчивого разомкнутого контура не охватывает точку (-1; j 0).

Характеристики устойчивой импульсной системы и неустойчивой системы, находящейся на границе устойчивости, показаны штриховыми линиями на рис. 3.2, б.

Устойчивость разомкнутого контура импульсной системы определяется устойчивостью её непрерывной части: если последняя устойчива, то и весь контур (включая импульсный элемент) устойчив.

Следует иметь в виду, что, хотя импульсный элемент не влияет на устойчивость разомкнутого контура, он существенно влияет на устойчивость и качество замкнутой системы. При малых периодах повторения частотная характеристика разомкнутого контура совпадает с частотной характеристикой непрерывной части, и устойчивость импульсной системы полностью определяется свойствами непрерывной части. По мере увеличения периода повторения у большинства систем уменьшается предельный передаточный коэффициент и ухудшаются динамические свойства. Однако на некоторые структурно-неустойчивые непрерывные системы и на системы с запаздыванием, АФХ которых заходит в правую полуплоскость, импульсный элемент оказывает стабилизирующее действие. Для таких систем рекомендуется период повторения выбирать из условия

,

– частота, при которой АФХ непрерывной части пересекает положительную мнимую ось Q ().

а) б)

Рис. 3.2 Критерий Михайлова (а) и Найквиста (б) для импульсной системы

Пример. Найти модуль АФХ импульсной системы, состоящей из ИЭ, генерирующего короткие прямоугольные импульсы относительной длительности и непрерывной части .

Передаточная функция формирователя

.

Для того, чтобы получить воспользуемся z -преобразованием.

подставим вместо

Пример. Определим с помощью критерия Гурвица предельное значение передаточного коэффициента импульсной системы, рассмотренной в разделе 2.5.

Характеристическое уравнение системы

После подстановки (3.5) уравнение принимает вид

и для него условие устойчивости Гурвица заключается, как известно, в положительности коэффициентов, т.е.

и

отсюда допустимые пределы измерения передаточного коэффициента 0< k <2 T.